S touto kalkulačkou se také používají následující:
Grafická metoda řešení ZLP
Simplexní metoda řešení ZLP
Řešení maticové hry
Pomocí online služby můžete určit cenu maticové hry (dolní a horní hranice), zkontrolovat přítomnost sedlového bodu, najít řešení smíšené strategie pomocí následujících metod: minimax, simplexová metoda, grafická (geometrická ) metoda, Brownova metoda.
Extrém funkce dvou proměnných
Problémy dynamického programování
První etapa řešení dopravního problému je určit jeho typ (otevřený nebo uzavřený, nebo jinak vyvážený či nevyvážený). Přibližné metody ( metody hledání referenčního plánu) umožnit druhý stupeň řešení v malém počtu kroků získat přijatelné, ale ne vždy optimální řešení problému. Tato skupina metod zahrnuje následující metody:
- mazání (metoda dvojí preference);
- severozápadní roh;
- minimální prvek;
- Vogelovy aproximace.
Referenční řešení dopravního problému
Referenční řešení dopravního problému je jakékoli proveditelné řešení, pro které jsou vektory podmínek odpovídající kladným souřadnicím lineárně nezávislé. Pro kontrolu lineární nezávislosti vektorů podmínek odpovídajících souřadnicím přípustného řešení se používají cykly.Cyklus Je volána sekvence buněk v tabulce transportních úloh, ve které jsou dvě a pouze sousední buňky umístěny ve stejném řádku nebo sloupci a první a poslední jsou také ve stejném řádku nebo sloupci. Systém vektorů podmínek transportního problému je lineárně nezávislý právě tehdy, když z odpovídajících buněk tabulky nelze vytvořit žádný cyklus. Proto přípustné řešení dopravní úlohy, i=1,2,...,m; j=1,2,...,n je odkaz pouze v případě, že z buněk tabulky, které obsahuje, nelze vytvořit žádný cyklus.
Přibližné metody řešení dopravního problému.
Metoda přeškrtnutí (metoda dvojité preference). Pokud je v řádku nebo sloupci tabulky jedna obsazená buňka, nemůže být zahrnuta do žádného cyklu, protože cyklus má dvě a pouze dvě buňky v každém sloupci. Můžete tedy proškrtnout všechny řádky tabulky, které obsahují jednu obsazenou buňku, pak proškrtnout všechny sloupce, které obsahují jednu obsazenou buňku, pak se vrátit k řádkům a pokračovat v přeškrtávání řádků a sloupců. Pokud jsou v důsledku smazání všechny řádky a sloupce proškrtnuty, znamená to, že z obsazených buněk tabulky nelze vybrat část tvořící cyklus a systém odpovídajících vektorů podmínek je lineárně nezávislý, a řešení je referenční. Pokud po vymazání nějaké buňky zůstanou, pak tyto buňky tvoří cyklus, systém odpovídajících vektorů podmínek je lineárně závislý a řešení není referenční.
Metoda severozápadního úhlu spočívá v postupném procházení řádků a sloupců přepravní tabulky počínaje levým sloupcem a horním řádkem a vypisováním maximálních možných zásilek do odpovídajících buněk tabulky tak, aby možnosti dodavatele nebo potřeby spotřebitele uvedené v úkol není překročen. Při tomto způsobu není věnována pozornost cenám doručení, protože se předpokládá další optimalizace zásilek.
Metoda minimálního prvku. I přes svou jednoduchost je tato metoda stále efektivnější než například metoda Severozápadního úhlu. Navíc je metoda minimálního prvku jasná a logická. Její podstatou je, že v přepravní tabulce se nejprve vyplňují buňky s nejnižšími tarify a poté buňky s nejvyššími tarify. To znamená, že volíme dopravu s minimálními náklady na doručení nákladu. To je jasný a logický krok. Pravda, ne vždy vede k optimálnímu plánu.
Vogelova aproximační metoda. S Vogelovou aproximační metodou se při každé iteraci zjistí rozdíl mezi dvěma minimálními tarify zapsanými pro všechny sloupce a všechny řádky. Tyto rozdíly jsou zaznamenány ve speciálně určeném řádku a sloupci v tabulce problémových stavů. Mezi naznačenými rozdíly je zvoleno minimum. V řádku (nebo sloupci), kterému tento rozdíl odpovídá, je stanoven minimální tarif. Při této iteraci je vyplněna buňka, do které je zapsán.
Příklad č. 1. Tarifní matice (zde počet dodavatelů 4, počet prodejen 6):
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | Rezervy | |
| 1 | 3 | 20 | 8 | 13 | 4 | 100 | 80 |
| 2 | 4 | 4 | 18 | 14 | 3 | 0 | 60 |
| 3 | 10 | 4 | 18 | 8 | 6 | 0 | 30 |
| 4 | 7 | 19 | 17 | 10 | 1 | 100 | 60 |
| Potřeby | 10 | 30 | 40 | 50 | 70 | 30 |
∑a = 80 + 60 + 30 + 60 = 230
∑b = 10 + 30 + 40 + 50 + 70 + 30 = 230
Podmínka vyvážení je splněna. Poskytuje stejné potřeby. Tím je model dopravního problému uzavřen. Pokud by byl model otevřený, bylo by nutné zavést další dodavatele nebo spotřebitele.
Na Druhá fáze Referenční plán se hledá pomocí výše uvedených metod (nejběžnější je metoda nejnižších nákladů).
Pro demonstraci algoritmu uvádíme pouze několik iterací.
Iterace č. 1. Minimální prvek matice je nula. U tohoto prvku jsou zásoby 60 a požadavky 30. Vybereme z nich minimální počet 30 a odečteme jej (viz tabulka). Zároveň odškrtneme z tabulky šestý sloupec (jeho potřeby se rovnají 0).
| 3 | 20 | 8 | 13 | 4 | X | 80 |
| 4 | 4 | 18 | 14 | 3 | 0 | 60 - 30 = 30 |
| 10 | 4 | 18 | 8 | 6 | X | 30 |
| 7 | 19 | 17 | 0 | 1 | X | 60 |
| 10 | 30 | 40 | 50 | 70 | 30 - 30 = 0 | 0 |
Iterace č. 2. Opět hledáme minimum (0). Z dvojice (60;50) vybereme minimální počet 50. Pátý sloupec přeškrtneme.
| 3 | 20 | 8 | X | 4 | X | 80 |
| 4 | 4 | 18 | X | 3 | 0 | 30 |
| 10 | 4 | 18 | X | 6 | X | 30 |
| 7 | 19 | 17 | 0 | 1 | X | 60 - 50 = 10 |
| 10 | 30 | 40 | 50 - 50 = 0 | 70 | 0 | 0 |
Iterace č. 3. Pokračujeme v procesu, dokud nevybereme všechny potřeby a zásoby.
Iterace č. N. Prvek, který hledáte, je 8. U tohoto prvku se zásoby rovnají požadavkům (40).
| 3 | X | 8 | X | 4 | X | 40 - 40 = 0 |
| X | X | X | X | 3 | 0 | 0 |
| X | 4 | X | X | X | X | 0 |
| X | X | X | 0 | 1 | X | 0 |
| 0 | 0 | 40 - 40 = 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | Rezervy | |
| 1 | 3 | 20 | 8 | 13 | 4 | 100 | 80 |
| 2 | 4 | 4 | 18 | 14 | 3 | 0 | 60 |
| 3 | 10 | 4 | 18 | 8 | 6 | 0 | 30 |
| 4 | 7 | 19 | 17 | 0 | 1 | 100 | 60 |
| Potřeby | 10 | 30 | 40 | 50 | 70 | 30 |
Spočítejme počet obsazených buněk tabulky, je jich 8, ale mělo by to být m + n - 1 = 9. Proto je plán podpory zdegenerovaný. Připravujeme nový plán. Někdy musíte sestavit několik referenčních plánů, než najdete jeden nezdegenerovaný.
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | Rezervy | |
| 1 | 3 | 20 | 8 | 13 | 4 | 100 | 80 |
| 2 | 4 | 4 | 18 | 14 | 3 | 0 | 60 |
| 3 | 10 | 4 | 18 | 8 | 6 | 0 | 30 |
| 4 | 7 | 19 | 17 | 0 | 1 | 100 | 60 |
| Potřeby | 10 | 30 | 40 | 50 | 70 | 30 |
V důsledku toho je získán první plán podpory, který je platný, protože počet obsazených buněk tabulky je 9 a odpovídá vzorci m + n - 1 = 6 + 4 - 1 = 9, tzn. referenční plán je nedegenerované.
Třetí etapa spočívá ve zlepšení nalezeného referenčního plánu. Zde používají metodu potenciální nebo distribuční metodu. V této fázi lze správnost řešení sledovat pomocí nákladové funkce F(x) . Pokud se sníží (za předpokladu minimalizace nákladů), pak je řešení správné.
Příklad č. 2. Pomocí metody minimálního tarifu předložte počáteční plán řešení dopravního problému. Zkontrolujte optimalitu pomocí metody potenciálu.
| 30 | 50 | 70 | 10 | 30 | 10 | |
| 40 | 2 | 4 | 6 | 1 | 1 | 2 |
| 80 | 3 | 4 | 5 | 9 | 9 | 6 |
| 60 | 4 | 3 | 2 | 7 | 8 | 7 |
| 20 | 5 | 1 | 3 | 5 | 7 | 9 |
Příklad č. 3. Čtyři cukrářské závody mohou vyrábět tři druhy cukrářských výrobků. Výrobní náklady na jeden metrický cent (quintal) cukrářských výrobků každou továrnou, výrobní kapacita továren (quintal za měsíc) a denní potřeba cukrářských výrobků (quintal za měsíc) jsou uvedeny v tabulce. Sestavte plán výroby cukrovinek, který minimalizuje celkové výrobní náklady.
Poznámka. Zde můžete nejprve transponovat tabulku nákladů, protože pro klasickou formulaci dopravního problému jsou na prvním místě kapacity (výroba) a poté spotřebitelé.
Příklad č. 4. Pro výstavbu zařízení jsou cihly dodávány ze tří (I, II, III) závodů. Továrny mají ve skladech 50, 100 a 50 tisíc jednotek. cihly Objekty vyžadují 50, 70, 40 a 40 tisíc kusů. cihly Tarify (den. jednotky/tis. jednotek) jsou uvedeny v tabulce. Vytvořte plán přepravy, který minimalizuje celkové náklady na přepravu.
bude zavřeno, pokud:A) a=40, b=45
B) a=45, b=40
B) a=11, b=12
Podmínka uzavřeného transportního problému: ∑a = ∑b
Zjistíme, ∑a = 35+20+b = 55+b; ∑b = 60+a
Dostaneme: 55+b = 60+a
Rovnost bude dodržena pouze tehdy, když a=40, b=45
Matematický test SAT pokrývá řadu matematických metod s důrazem na řešení problémů, matematické modely a strategické využití matematických znalostí.
SAT Math Test: stejně jako v reálném světě
Místo toho, aby vás testovalo každé matematické téma, nový SAT testuje vaši schopnost používat matematiku, na kterou se budete většinou spoléhat a v mnoha různých situacích. Otázky matematického testu jsou navrženy tak, aby odrážely řešení problémů a modely, se kterými se budete zabývat
Vysokoškolské studium, přímé studium matematiky, přírodních a společenských věd;
- Vaše každodenní profesní aktivity;
- Váš každodenní život.
Například k zodpovězení některých otázek budete muset použít několik kroků – protože v reálném světě jsou situace, kdy k nalezení řešení stačí jeden jednoduchý krok, extrémně vzácné.
Matematický formát SAT
Matematický test SAT: Základní fakta
Sekce SAT Math se zaměřuje na tři oblasti matematiky, které hrají vedoucí roli ve většině akademických předmětů ve vysokoškolském vzdělávání a profesionální kariéře:
- Srdce algebry: Základy algebry, která se zaměřuje na řešení lineárních rovnic a systémů;
- Řešení problémů a analýza dat: Řešení problémů a analýza dat nezbytná pro obecnou matematickou gramotnost;
- Pas do pokročilé matematiky: Základy pokročilé matematiky, která klade otázky vyžadující manipulaci se složitými rovnicemi.
Test z matematiky také čerpá z doplňkových témat z matematiky, včetně geometrie a trigonometrie, které jsou nejdůležitější pro vysokoškolské studium a profesní kariéru.
SAT matematický test: video
Základy algebry
Srdce algebry
Tato část SAT Math se zaměřuje na algebru a klíčové koncepty, které jsou nejdůležitější pro úspěch na vysoké škole a kariéru. Hodnotí schopnost studentů volně analyzovat, řešit a konstruovat lineární rovnice a nerovnice. Studenti budou také muset analyzovat a plynule řešit rovnice a soustavy rovnic pomocí více metod. Aby bylo možné plně posoudit znalost tohoto materiálu, problémy se budou výrazně lišit v typu a obsahu. Mohou být poměrně jednoduché nebo vyžadují strategické myšlení a porozumění, jako je interpretace interakce mezi grafickými a algebraickými výrazy nebo předložení řešení jako proces uvažování. Účastníci testu musí prokázat nejen znalost technik řešení, ale také hlubší porozumění konceptům, které jsou základem lineárních rovnic a funkcí. Základní algebra SAT Math je hodnocena na stupnici od 1 do 15.
Tato část bude obsahovat úkoly, u kterých je odpověď uvedena s výběrem z více možností nebo nezávisle vypočítaná studentem. Použití kalkulačky je někdy povoleno, ale ne vždy je nutné nebo doporučené.
1. Sestavte, vyřešte nebo interpretujte lineární výraz nebo rovnici s jednou proměnnou v kontextu určitých specifických podmínek. Výraz nebo rovnice může mít racionální koeficienty a pro zjednodušení výrazu nebo vyřešení rovnice může být vyžadováno několik kroků.
2. Konstruujte, řešte nebo interpretujte lineární nerovnosti s jednou proměnnou v kontextu některých specifických podmínek. Nerovnice může mít racionální koeficienty a může vyžadovat několik kroků pro zjednodušení nebo vyřešení.
3. Sestrojte lineární funkci, která modeluje lineární vztah mezi dvěma veličinami. Testovaný musí popsat lineární vztah, který vyjadřuje určité podmínky buď pomocí rovnice se dvěma proměnnými, nebo pomocí funkce. Rovnice nebo funkce bude mít racionální koeficienty a pro konstrukci a zjednodušení rovnice nebo funkce může být zapotřebí několik kroků.
4. Konstruovat, řešit a interpretovat systémy lineárních nerovnic se dvěma proměnnými. Zkoušený bude analyzovat jednu nebo více podmínek existujících mezi dvěma proměnnými konstrukcí, řešením nebo interpretací dvouproměnné nerovnosti nebo systému dvouproměnných nerovností v rámci určitých specifikovaných podmínek. Konstrukce nerovnosti nebo systému nerovností může vyžadovat několik kroků nebo definic.
5. Sestavte, řešte a interpretujte soustavy dvou lineárních rovnic ve dvou proměnných. Zkoušený bude analyzovat jednu nebo více podmínek, které existují mezi dvěma proměnnými, sestavením, řešením nebo analýzou systému lineárních rovnic za určitých specifikovaných podmínek. Rovnice budou mít racionální koeficienty a může být zapotřebí několik kroků ke zjednodušení nebo vyřešení systému.
6. Řešte lineární rovnice (nebo nerovnice) s jednou proměnnou. Rovnice (nebo nerovnost) bude mít racionální koeficienty a může vyžadovat několik kroků k vyřešení. Rovnice nemusí mít žádné řešení, jedno řešení nebo nekonečný počet řešení. Zkoušený může být také požádán, aby určil hodnotu nebo koeficient rovnice, která nemá řešení nebo má nekonečný počet řešení.
7. Řešte soustavy dvou lineárních rovnic se dvěma proměnnými. Rovnice budou mít racionální koeficienty a systém může mít žádné řešení, jedno řešení nebo nekonečný počet řešení. Zkoušený může být také požádán, aby určil hodnotu nebo koeficient rovnice, ve které systém nemusí mít žádné řešení, jedno řešení nebo nekonečný počet řešení.
8. Vysvětlete vztah mezi algebraickými a grafickými výrazy. Identifikujte graf popsaný danou lineární rovnicí nebo lineární rovnici, která popisuje daný graf, určete rovnici přímky dané slovním popisem jejího grafu, identifikujte klíčové vlastnosti grafu lineární funkce z její rovnice, určete, jak graf může být ovlivněna změnou jeho rovnice.
Řešení problémů a analýza dat
Řešení problémů a analýza dat
Tato část SAT Math odráží výzkum, který určil, co je důležité pro úspěch na vysoké škole nebo univerzitě. Testy vyžadují řešení problémů a analýzu dat: schopnost matematicky popsat určitou situaci s přihlédnutím k zahrnutým prvkům, znát a používat různé vlastnosti matematických operací a čísel. Problémy v této kategorii budou vyžadovat značné zkušenosti s logickým uvažováním.
Zkoušení budou muset znát výpočet průměrných hodnot ukazatelů, obecných vzorců a odchylek od obecného obrazu a rozložení v sadách.
Všechny otázky týkající se řešení problémů a analýzy dat testují schopnost účastníků využít své matematické znalosti a dovednosti k řešení problémů, se kterými se mohou setkat v reálném světě. Mnohé z těchto problémů jsou kladeny v akademickém a profesním kontextu a pravděpodobně souvisí s vědou a sociologií.
Řešení problémů a analýza dat je jednou ze tří podsekcí SAT Math, které jsou hodnoceny od 1 do 15.
Tato část bude obsahovat otázky s výběrem z více odpovědí nebo s odpověďmi, které si sami vypočítali. Použití kalkulačky je zde vždy povoleno, ale ne vždy nutné nebo doporučené.
V této části SAT Math se můžete setkat s následujícími otázkami:
1. Použijte poměry, míry, proporce a výkresy v měřítku k řešení jedno- a vícekrokových problémů. Účastníci testu použijí proporcionální vztah mezi dvěma proměnnými k řešení vícekrokového problému k určení poměru nebo míry; Vypočítejte poměr nebo rychlost a poté vyřešte vícekrokový problém pomocí daného poměru nebo poměru k vyřešení vícekrokového problému.
2. Řešte jednoduché a vícekrokové úlohy s procenty. Zkoušený vyřeší víceúrovňový problém k určení procenta. Vypočítejte procento čísla a poté vyřešte víceúrovňový problém. Pomocí daného procenta vyřešte víceúrovňový problém.
3. Řešení jedno- a vícekrokových výpočtových úloh. Zkoušený vyřeší víceúrovňový problém k určení jednotky sazby; Vypočítejte měrnou jednotku a poté vyřešte vícekrokový problém; Vyřešte víceúrovňový problém a dokončete převod jednotek; Vyřešte problém vícestupňového výpočtu hustoty; Nebo použijte koncept hustoty k řešení vícekrokového problému.
4. Pomocí rozptylových diagramů řešte lineární, kvadratické nebo exponenciální modely, abyste popsali, jak spolu proměnné souvisí. Vzhledem k bodovému grafu vyberte rovnici přímky nebo křivky proložení; Interpretujte linii v kontextu situace; Nebo použijte čáru nebo křivku, která nejlépe odpovídá předpovědi.
5. Pomocí vztahu mezi dvěma proměnnými prozkoumejte klíčové funkce grafu. Zkoušený vytvoří spojení mezi grafickým vyjádřením dat a vlastnostmi grafu výběrem grafu, který představuje popsané vlastnosti, nebo pomocí grafu určí hodnoty nebo sady hodnot.
6. Porovnejte lineární růst s exponenciálním růstem. Zkoušený bude muset porovnat dvě proměnné, aby určil, který typ modelu je optimální.
7. Pomocí tabulek vypočítejte data pro různé kategorie veličin, relativní četnosti a podmíněné pravděpodobnosti. Vyšetřovaný používá data z různých kategorií k výpočtu podmíněných četností, podmíněných pravděpodobností, asociace proměnných nebo nezávislosti událostí.
8. Vyvodit závěry o parametrech populace na základě výběrových dat. Vyšetřovaný odhadne parametr populace s přihlédnutím k výsledkům náhodného vzorku populace. Vzorové statistiky mohou poskytnout intervaly spolehlivosti a chybu měření, kterým student musí porozumět a používat je, aniž by je musel počítat.
9. Použijte statistické metody k výpočtu průměrů a rozdělení. Účastníci testu vypočítají průměr a/nebo rozdělení pro daný soubor dat nebo použijí statistiku k porovnání dvou samostatných souborů dat.
10. Hodnotit zprávy, vyvozovat závěry, zdůvodňovat závěry a určovat vhodnost metod sběru dat. Zprávy se mohou skládat z tabulek, grafů nebo textových souhrnů.
Základy vyšší matematiky
Pas do pokročilé matematiky
Tato část SAT Math obsahuje témata, která jsou zvláště důležitá, aby si studenti osvojili, než přejdou k pokročilé matematice. Klíčem je zde porozumění struktuře výrazů a schopnost tyto výrazy analyzovat, manipulovat s nimi a zjednodušovat je. To také zahrnuje schopnost analyzovat složitější rovnice a funkce.
Stejně jako v předchozích dvou částech SAT Math jsou otázky hodnoceny od 1 do 15.
Tato část bude obsahovat otázky s výběrem z více odpovědí nebo s vlastními vypočítanými odpověďmi. Použití kalkulačky je někdy povoleno, ale není vždy nutné nebo doporučené.
V této části SAT Math se můžete setkat s následujícími otázkami:
1. Vytvořte kvadratickou nebo exponenciální funkci nebo rovnici, která modeluje dané podmínky. Rovnice bude mít racionální koeficienty a může vyžadovat několik kroků pro zjednodušení nebo vyřešení.
2. Určete nejvhodnější formu výrazu nebo rovnice k identifikaci konkrétního atributu za daných podmínek.
3. Vytvořte ekvivalentní výrazy zahrnující racionální exponenty a radikály, včetně zjednodušení nebo převodu do jiné formy.
4. Sestrojte ekvivalentní tvar algebraického výrazu.
5. Vyřešte kvadratickou rovnici, která má racionální koeficienty. Rovnice může být reprezentována v široké škále forem.
6. Sčítání, odečítání a násobení polynomů a zjednodušení výsledku. Výrazy budou mít racionální koeficienty.
7. Řešte rovnici v jedné proměnné, která obsahuje radikály nebo obsahuje proměnnou ve jmenovateli zlomku. Rovnice bude mít racionální koeficienty.
8. Řešte soustavu lineárních nebo kvadratických rovnic. Rovnice budou mít racionální koeficienty.
9. Zjednodušte jednoduché racionální výrazy. Účastníci testu sečtou, odečtou, vynásobí nebo vydělí dva racionální výrazy nebo vydělí dva polynomy a zjednoduší je. Výrazy budou mít racionální koeficienty.
10. Interpretujte části nelineárních výrazů z hlediska jejich termínů. Účastníci testu musí dát dané podmínky do souvislosti s nelineární rovnicí, která tyto podmínky modeluje.
11. Pochopit vztah mezi nulami a faktory v polynomech a využít tyto znalosti ke konstrukci grafů. Účastníci testu využijí vlastnosti polynomů k řešení problémů obsahujících nuly, jako je určování, zda je výraz faktorem polynomu na základě poskytnutých informací.
12. Porozumět vztahu mezi dvěma proměnnými vytvořením souvislostí mezi jejich algebraickým a grafickým vyjádřením. Zkoušený musí být schopen vybrat graf odpovídající dané nelineární rovnici; interpretovat grafy v kontextu řešení soustav rovnic; vyberte nelineární rovnici odpovídající danému grafu; určit rovnici křivky s přihlédnutím ke slovnímu popisu grafu; identifikovat klíčové vlastnosti grafu lineární funkce z její rovnice; určit vliv změny řídící rovnice na graf.
Co testuje matematická sekce SAT?
Obecné zvládnutí disciplíny
Matematický test je příležitostí ukázat, že:
Provádějte matematické úkoly flexibilně, přesně, efektivně as využitím strategií řešení;
- Rychle řešit problémy identifikací a používáním nejúčinnějších přístupů k řešení. To může zahrnovat řešení problémů pomocí
provádění náhrad, zkratek nebo reorganizace informací, které poskytujete;
Koncepční chápání
Prokážete své porozumění matematickým pojmům, operacím a vztahům. Můžete být například požádáni, abyste vytvořili souvislosti mezi vlastnostmi lineárních rovnic, jejich grafy a pojmy, které vyjadřují.
Aplikace oborových znalostí
Mnoho otázek SAT Math je převzato z problémů ze skutečného života a žádá vás, abyste problém analyzovali, identifikovali základní prvky potřebné k jeho vyřešení, vyjádřili problém matematicky a našli řešení.
Pomocí kalkulačky
Kalkulačky jsou důležitými nástroji pro provádění matematických výpočtů. Pro úspěšné studium na vysoké škole je potřeba vědět, jak a kdy je použít. V části testu Math Test-Calculator se budete moci soustředit na hledání řešení a samotnou analýzu, protože vaše kalkulačka vám pomůže ušetřit čas.
Kalkulačka, jako každý nástroj, je však jen tak chytrá, jak chytrý je člověk, který ji používá. V testu z matematiky je několik otázek, kde je nejlepší nepoužívat kalkulačku, i když to máte povoleno. V těchto situacích testovaní, kteří umí myslet a uvažovat, pravděpodobně dospějí k odpovědi dříve než ti, kteří slepě používají kalkulačku.
Část Math Test-No Calculator usnadňuje posouzení vašich obecných znalostí o předmětu a porozumění určitým matematickým pojmům. Testuje také znalost výpočetních technik a porozumění pojmům čísel.
Otázky s odpověďmi vloženými do tabulky
Přestože většina otázek v matematickém testu má výběr z více možností, 22 procent tvoří otázky, kde jsou odpovědi výsledkem vlastních výpočtů testovaného – těm se říká grid-ins. Namísto výběru správné odpovědi ze seznamu musíte vyřešit problémy a zadat své odpovědi do tabulek na odpovědním listu.
Odpovědi vložené do tabulky
V žádném sloupci neoznačte více než jeden kruh;
- Započítány budou pouze odpovědi označené vyplněním kruhu (nezískáte body za vše napsané v polích umístěných výše
kruhy).
- Nezáleží na tom, do kterého sloupce začnete zadávat své odpovědi; Je důležité, aby byly odpovědi zapsány uvnitř mřížky, pak získáte body;
- Mřížka může obsahovat pouze čtyři desetinná místa a může přijímat pouze kladná čísla a nulu.
- Pokud není v úloze uvedeno jinak, odpovědi lze zadávat do mřížky jako desítkové nebo zlomkové;
- Zlomky jako 3/24 není třeba redukovat na minimální hodnoty;
- Všechna smíšená čísla musí být před zapsáním do mřížky převedena na nesprávné zlomky;
- Pokud je odpovědí opakující se desetinné číslo, studenti musí určit nejpřesnější hodnoty, které budou
zvážit.
Níže je ukázka pokynů, které účastníci testu uvidí u zkoušky z matematiky SAT:
Přednášky o elementární matematice (1898) je nejstarším anglickým překladem publikace Josepha Louise Lagrange z roku 1795, Leçons élémentaires sur les mathematics, obsahující sérii přednášek přednesených téhož roku na Ecole Normale. Dílo přeložil a upravil Thomas J. McCormack a v roce 1901 vyšlo druhé vydání, z něhož jsou převzaty následující citace.
Obsah
Citáty [Upravit]
Přednáška III. O algebře, zejména o řešení rovnic třetího a čtvrtého stupně[Upravit]
- Algebra je věda téměř výhradně díky moderně... protože máme jedno pojednání od Řeků, pojednání o Diofantovi... jediné, za které vděčíme starověku v tomto odvětví matematiky. ...mluvím pouze o Řekech, protože Římané ve vědách nic nezanechali a podle všeho nic neudělali.
- Jeho dílo obsahuje první prvky této vědy. K vyjádření neznámé veličiny použil řecké písmeno, které odpovídá našemu Svatý a který byl v překladech nahrazen výrazem N. K vyjádření známých veličin používal výhradně čísla, protože algebře bylo dlouho předurčeno být zcela omezeno na řešení numerických problémů.
- [H]e používá známé i neznámé veličiny podobně. A v tom spočívá v podstatě podstata algebry, která spočívá v použití neznámých veličin, kalkulování s nimi jako se známými veličinami a sestavení jedné nebo několika rovnic, z nichž lze určit hodnotu neznámých veličin.
- Diofantovo dílo sice obsahuje téměř výhradně neurčité problémy, jejichž řešení hledá v racionálních číslech, - problémy, které byly po něm označeny jako diofantické, - přesto v jeho díle nacházíme řešení řady určitých problémů 1. stupně, a dokonce i takové, které zahrnují několik neznámých veličin. V druhém případě se však autor vždy uchýlí k... redukovat problém na jedinou neznámou veličinu, - což není obtížné.
- Dává také řešení rovnice druhého stupně, ale je opatrný, aby je uspořádal tak, že nikdy nepřevezmou ovlivněný tvar obsahující druhou mocninu a první mocninu neznámé veličiny. ...vždy dospěje k rovnici, ve které k řešení stačí vyjmout druhou odmocninu...
- Diophantus... nepostupuje za rovnice druhého stupně a nevíme, jestli on nebo někdo z jeho nástupců... někdy tlačil... za tento bod.
- Diophantus nebyl v Evropě znám až do konce šestnáctého století, první překlad byl ubohý od Xylandera z roku 1575. Bachet de Méziriac ... na svou dobu snesitelně dobrý matematik, následně vydal (1621) nový překlad ...doprovázeno sáhodlouhými komentáři, nyní nadbytečnými. Bachetův překlad následně přetiskl s pozorováními a poznámkami Fermat.
- Před objevením a zveřejněním Diophanta... si algebra našla cestu do Evropy. Ke konci patnáctého století se v Benátkách objevilo dílo... Lucase Pacioluse o aritmetice a geometrii, ve kterém byla uvedena základní pravidla algebry.
- [T]Evropané, kteří dostali algebru od Arabů, ji vlastnili sto let předtím, než jim bylo známé dílo Diofantovo. Nedosáhli však žádného pokroku za rovnicemi prvního a druhého stupně.
- V Paciolově díle... obecné rozlišení rovnic druhého stupně... nebylo uvedeno. V této práci najdeme jednoduchá pravidla, vyjádřená špatnými latinskými verši, pro řešení každého konkrétního případu podle různých kombinací znamének členů rovnice, a dokonce tato pravidla platila pouze pro případ, kdy kořeny byly skutečné a kladné. Negativní kořeny byly stále považovány za nesmyslné a nadbytečné.
- Byla to geometrie, která nám skutečně navrhla použití záporných veličin, a zde sestává z jedné z největších výhod, které vyplynuly z aplikace algebry na geometrii, což je krok, který vděčíme Descartovi.
- V následujícím období bylo zkoumáno řešení rovnic třetího stupně a objev pro konkrétní případ nakonec učinil... Scipio Ferreus (1515). ...Tartaglia a Cardan následně zdokonalili Ferreovo řešení a zobecnili ho pro všechny rovnice třetího stupně.
- V tomto období byla Itálie, která byla kolébkou algebry v Evropě, stále téměř jediným pěstitelem vědy a teprve asi v polovině šestnáctého století se ve Francii, Německu a Německu začala objevovat pojednání o algebře. ostatní země.
- Práce Peletiera a Butea byly prvními, které Francie vytvořila v této vědě...
- Tartaglia své řešení vyložil ve špatných italských verších v díle pojednávajícím o různých otázkách a vynálezech vytištěném v roce 1546, díle, které se těší poctě, že je jedním z prvních, kdo pojednává o moderních opevněních pomocí bašt.
- Cardan vydal své pojednání Ars Magna nebo Algebra... Cardan jako první pochopil, že rovnice mají několik kořenů, a rozlišil je na kladné a záporné. Ale on je zvláště známý tím, že poprvé poznamenal tzv neredukovatelný případ v níž se v imaginární podobě objevuje vyjádření skutečných kořenů. Cardan se na několika speciálních případech, ve kterých měla rovnice racionální dělitele, přesvědčil, že imaginární tvar nebrání tomu, aby kořeny měly skutečnou hodnotu. Zbývalo však dokázat, že nejen že kořeny byly skutečné v neredukovatelném případě, ale že bylo nemožné, aby všechny tři dohromady byly skutečné kromě tohoto případu. Tento důkaz následně dodal Vieta, a zejména Albert Girard, z úvah dotýkajících se trisekce úhlu.
- [T]on neredukovatelný případ rovnic třetího stupně... představuje novou formu algebraických výrazů, které našly široké uplatnění v analýze... neustále vede k nerentabilním dotazům s cílem redukovat imaginární formu na reálnou formu a... tak v algebře představuje problém, který lze postavit na stejnou úroveň se slavnými problémy duplikace krychle a kvadratury kruhu v geometrii.
- Matematici diskutovaného období byli zvyklí si vzájemně předkládat problémy k řešení. Tyto... byly... veřejné výzvy a sloužily k vzrušení a udržení fermentace, která je nezbytná pro výzkum vědy. Výzvy... pokračovaly až do počátku osmnáctého století v Evropě a skutečně neustaly, dokud nevznikly akademie, které splnily stejný cíl... částečně spojením znalostí svých různých členů, částečně tím, že styk, který udržovali... a... zveřejněním jejich memoárů, které sloužily k šíření nových objevů a pozorování...
- The Algebra of Bombelli obsahuje nejen objev Ferrariho, ale i řadu dalších důležitých poznámek k rovnicím druhého a třetího stupně a zejména k teorii radikálů, pomocí kterých se autorovi v několika případech podařilo extrahovat pomyslné odmocniny dvou dvojčlenů. vzorce třetího stupně v neredukovatelném případě, takže nalezení dokonale reálného výsledku... nejpřímější možný důkaz reality tohoto druhu výrazů.
- Řešení rovnic třetího a čtvrtého stupně bylo rychle dokončeno. Úspěšné úsilí matematiků po více než dvě století však nedokázalo překonat obtíže rovnice pátého stupně.
- Tyto snahy však zdaleka nebyly marné. Daly vzniknout mnoha krásným teorémům... o tvoření rovnic, o charakteru a znacích kořenů, o transformaci dané rovnice na jiné, jejichž kořeny mohou být vytvořeny s potěšením z kořenů k dané rovnici a konečně ke krásným úvahám týkajícím se metafyziky řešení rovnic, z nichž vzešel nejpřímější způsob, jak dospět k jejich řešení, pokud je to možné.
- Vieta a Descartes... Harriot... a Hudde... byli prvními po Italech..., kteří zdokonalili teorii rovnic, a od jejich dob sotva existuje významný matematik, který by se neuplatnil...
Přednáška V. O využití křivek při řešení problémů[Upravit]
- Dokud algebra a geometrie cestovaly oddělenými cestami, jejich postup byl pomalý a jejich aplikace omezená. Ale když se tyto dvě vědy spojily, načerpaly ze sebe čerstvou vitalitu a pak šly rychlým tempem vpřed k dokonalosti. Právě Descartovi vděčíme za aplikaci algebry na geometrii, aplikaci, která poskytla klíč k největším objevům ve všech odvětvích matematiky.
- Metoda... pro nalezení a demonstraci různých obecných vlastností rovnic uvažováním křivek, které je reprezentují, je druhem aplikace geometrie na algebru... [T] tato metoda má rozšířené aplikace a je schopna pohotově řešit problémy jehož přímé řešení by bylo extrémně obtížné nebo dokonce nemožné... [T]oto téma... se běžně nevyskytuje v elementárních pracích o algebře.
- [A]rovnici libovolného stupně lze vyřešit pomocí křivky, jejíž abscisa představuje neznámou veličinu rovnice a ordinuje hodnoty, které levý člen nabývá pro každou hodnotu neznámé veličiny. . ...[T]uto metodu lze obecně aplikovat na všechny rovnice bez ohledu na jejich tvar a... pouze vyžaduje, aby byly vyvinuty a uspořádány podle různých mocnin neznámé veličiny. [Upravit]
- Přednášky o elementární matematice 2. vyd. (1901) @GoogleBooks
V problému obchodního cestujícího, abyste vytvořili optimální trasu kolem n měst, musíte vybrat to nejlepší z (n-1)! možnosti založené na čase, ceně nebo délce trasy. Tento problém zahrnuje určení hamiltonovského cyklu minimální délky. V takových případech by měla být množina všech možných řešení reprezentována ve formě stromu - souvislého grafu, který neobsahuje cykly ani smyčky. Kořen stromu sjednocuje celou sadu možností a vrcholy stromu jsou podmnožiny částečně uspořádaných možností řešení.
Účel služby. Pomocí služby můžete zkontrolovat své řešení nebo získat nové řešení problému obchodního cestujícího pomocí dvou metod: metody větvení a vazby a maďarské metody.
Matematický model problému obchodního cestujícího
Formulovaný problém je celočíselný problém. Nechť x ij = 1, pokud se cestující pohybuje z i-tého města do j-tého, a x ij = 0, pokud tomu tak není.Formálně uvedeme (n+1) město ležící na stejném místě jako město první, tzn. vzdálenosti od (n+1) měst k jakémukoli jinému městu než prvnímu se rovnají vzdálenostem od prvního města. Navíc, pokud můžete opustit pouze první město, pak můžete přijít pouze do (n+1) města.
Zaveďme další celočíselné proměnné rovnající se počtu návštěv tohoto města po cestě. u 1 = 0, u n + 1 = n. Abychom se vyhnuli uzavřeným cestám, opusťte první město a vraťte se do (n+1), zavádíme další omezení spojující proměnné x ij a proměnné u i (u i jsou nezáporná celá čísla).
U i -u j +nx ij ≤ n-1, j=2..n+1, i=1..n, i≠j, s i=1 j≠n+1
0≤u i ≤n, x in+1 =x i1, i=2..n
Metody řešení problému obchodního cestujícího
- metoda větvení a vazby (Littleův algoritmus nebo eliminace podcyklu). Příklad větveného a vázaného řešení;
- Maďarská metoda. Příklad řešení pomocí maďarské metody.
Littleův algoritmus nebo eliminace podcyklů
- Redukční operace podél řádků: v každém řádku matice je nalezen minimální prvek d min a odečten od všech prvků příslušného řádku. Dolní mez: H=∑d min .
- Operace zmenšení po sloupcích: v každém sloupci matice vyberte minimální prvek d min a odečtěte jej od všech prvků odpovídajícího sloupce. Dolní mez: H=H+∑d min .
- Redukční konstanta H je spodní hranicí množiny všech přípustných hamiltonovských vrstevnic.
- Hledání mocnin nul pro matici danou řádky a sloupci. Chcete-li to provést, dočasně nahraďte nuly v matici znaménkem „∞“ a najděte součet minimálních prvků řádku a sloupce odpovídající této nule.
- Vyberte oblouk (i,j), pro který stupeň nulového prvku dosáhne maximální hodnoty.
- Množina všech hamiltonovských obrysů je rozdělena do dvou podmnožin: podmnožina hamiltonovských obrysů obsahujících oblouk (i,j) a těch, které jej neobsahují (i*,j*). Chcete-li získat matici obrysů obsahující oblouk (i,j), škrtněte v matici řádek i a sloupec j. Aby se zabránilo vytvoření nehamiltonovského obrysu, nahraďte symetrický prvek (j,i) znakem „∞“. Eliminace oblouku se dosáhne nahrazením prvku v matici ∞.
- Matice hamiltonovských vrstevnic je redukována hledáním redukčních konstant H(i,j) a H(i*,j*) .
- Jsou porovnány spodní hranice podmnožiny hamiltonovských kontur H(i,j) a H(i*,j*). Pokud H(i,j)
- Pokud se v důsledku větvení získá matice (2x2), určí se hamiltonovský obrys získaný větvením a jeho délka.
- Délka hamiltonovského obrysu je porovnána se spodními hranicemi visících větví. Pokud délka obrysu nepřesahuje jejich spodní hranice, je problém vyřešen. Jinak se vyvíjejí větve podmnožin s dolní hranicí menší než výsledný obrys, dokud se nezíská trasa s kratší délkou.
Příklad. Vyřešte problém obchodního cestujícího s maticí pomocí Littleova algoritmu
| 1 | 2 | 3 | 4 | |
| 1 | - | 5 | 8 | 7 |
| 2 | 5 | - | 6 | 15 |
| 3 | 8 | 6 | - | 10 |
| 4 | 7 | 15 | 10 | - |
Řešení. Vezměme jako libovolnou cestu: X 0 = (1,2);(2,3);(3,4);(4,5);(5,1). Potom F(X 0) = 20 + 14 + 6 + 12 + 5 = 57
K určení spodní hranice množiny použijeme redukční operace nebo zmenšení matice řádek po řádku, pro které je nutné najít minimální prvek v každém řádku matice D: d i = min(j) d ij
| já j | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | d i |
| 1 | M | 20 | 18 | 12 | 8 | 8 |
| 2 | 5 | M | 14 | 7 | 11 | 5 |
| 3 | 12 | 18 | M | 6 | 11 | 6 |
| 4 | 11 | 17 | 11 | M | 12 | 11 |
| 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | M | 5 |
| já j | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 1 | M | 12 | 10 | 4 | 0 |
| 2 | 0 | M | 9 | 2 | 6 |
| 3 | 6 | 12 | M | 0 | 5 |
| 4 | 0 | 6 | 0 | M | 1 |
| 5 | 0 | 0 | 0 | 0 | M |
dj = min(i) d ij
| já j | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 1 | M | 12 | 10 | 4 | 0 |
| 2 | 0 | M | 9 | 2 | 6 |
| 3 | 6 | 12 | M | 0 | 5 |
| 4 | 0 | 6 | 0 | M | 1 |
| 5 | 0 | 0 | 0 | 0 | M |
| d j | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| já j | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 1 | M | 12 | 10 | 4 | 0 |
| 2 | 0 | M | 9 | 2 | 6 |
| 3 | 6 | 12 | M | 0 | 5 |
| 4 | 0 | 6 | 0 | M | 1 |
| 5 | 0 | 0 | 0 | 0 | M |
Prvky matice d ij odpovídají vzdálenosti bodu i k bodu j.
Protože v matici je n měst, pak D je matice nxn s nezápornými prvky d ij ≥ 0
Každá platná trasa představuje cyklus, ve kterém cestující obchodník navštíví město pouze jednou a vrátí se do původního města.
Délka trasy je určena výrazem: F(M k) = ∑d ij
Navíc je každý řádek a sloupec v trase zahrnut pouze jednou s prvkem d ij .
Krok 1.
Určení hrany větvení
| já j | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | d i |
| 1 | M | 12 | 10 | 4 | 0(5) | 4 |
| 2 | 0(2) | M | 9 | 2 | 6 | 2 |
| 3 | 6 | 12 | M | 0(5) | 5 | 5 |
| 4 | 0(0) | 6 | 0(0) | M | 1 | 0 |
| 5 | 0(0) | 0(6) | 0(0) | 0(0) | M | 0 |
| d j | 0 | 6 | 0 | 0 | 1 | 0 |
Největší součet redukčních konstant je (0 + 6) = 6 pro hranu (5,2), proto je množina rozdělena na dvě podmnožiny (5,2) a (5*,2*).
Vyloučení hran(5.2) se provádí tak, že prvek d 52 = 0 nahradíme M, načež provedeme další redukci matice vzdáleností pro výslednou podmnožinu (5*,2*), ve výsledku získáme redukovanou matici.
| já j | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | d i |
| 1 | M | 12 | 10 | 4 | 0 | 0 |
| 2 | 0 | M | 9 | 2 | 6 | 0 |
| 3 | 6 | 12 | M | 0 | 5 | 0 |
| 4 | 0 | 6 | 0 | M | 1 | 0 |
| 5 | 0 | M | 0 | 0 | M | 0 |
| d j | 0 | 6 | 0 | 0 | 0 | 6 |
Povolení hrany(5.2) se provádí eliminací všech prvků 5. řádku a 2. sloupce, ve kterých je prvek d 25 nahrazen M, aby se eliminoval vznik nehamiltonovského cyklu.
| já j | 1 | 3 | 4 | 5 | d i |
| 1 | M | 10 | 4 | 0 | 0 |
| 2 | 0 | 9 | 2 | M | 0 |
| 3 | 6 | M | 0 | 5 | 0 |
| 4 | 0 | 0 | M | 1 | 0 |
| d j | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
Dolní mez podmnožiny (5,2) je rovna: H(5,2) = 35 + 0 = 35 ≤ 41
Protože spodní hranice této podmnožiny (5,2) je menší než podmnožina (5*,2*), zahrneme do trasy hranu (5,2) s novou hranicí H = 35
Krok 2.
Určení hrany větvení a rozdělit celou množinu cest vzhledem k této hraně na dvě podmnožiny (i,j) a (i*,j*).
Za tímto účelem u všech buněk matice s nulovými prvky nahradíme nuly po jedné M (nekonečno) a určíme pro ně součet výsledných redukčních konstant, jsou uvedeny v závorkách.
| já j | 1 | 3 | 4 | 5 | d i |
| 1 | M | 10 | 4 | 0(5) | 4 |
| 2 | 0(2) | 9 | 2 | M | 2 |
| 3 | 6 | M | 0(7) | 5 | 5 |
| 4 | 0(0) | 0(9) | M | 1 | 0 |
| d j | 0 | 9 | 2 | 1 | 0 |
Největší součet redukčních konstant je (0 + 9) = 9 pro hranu (4,3), proto je množina rozdělena na dvě podmnožiny (4,3) a (4*,3*).
Vyloučení hran(4.3) se provádí tak, že prvek d 43 = 0 nahradíme M, načež provedeme další redukci matice vzdáleností pro výslednou podmnožinu (4*,3*), čímž získáme redukovanou matici.
| já j | 1 | 3 | 4 | 5 | d i |
| 1 | M | 10 | 4 | 0 | 0 |
| 2 | 0 | 9 | 2 | M | 0 |
| 3 | 6 | M | 0 | 5 | 0 |
| 4 | 0 | M | M | 1 | 0 |
| d j | 0 | 9 | 0 | 0 | 9 |
Povolení hrany(4.3) se provádí eliminací všech prvků 4. řádku a 3. sloupce, ve kterých je prvek d 34 nahrazen M, aby se vyloučil vznik nehamiltonovského cyklu.
Po operaci redukce bude redukovaná matice vypadat takto:
| já j | 1 | 4 | 5 | d i |
| 1 | M | 4 | 0 | 0 |
| 2 | 0 | 2 | M | 0 |
| 3 | 6 | M | 5 | 5 |
| d j | 0 | 2 | 0 | 7 |
Dolní mez podmnožiny (4,3) je rovna: H(4,3) = 35 + 7 = 42 ≤ 44
Od 42 > 41 vyloučíme podmnožinu (5,2) pro další větvení.
Vracíme se k předchozímu plánu X 1.
Plán X 1.
| já j | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 1 | M | 12 | 10 | 4 | 0 |
| 2 | 0 | M | 9 | 2 | 6 |
| 3 | 6 | 12 | M | 0 | 5 |
| 4 | 0 | 6 | 0 | M | 1 |
| 5 | 0 | M | 0 | 0 | M |
| já j | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 1 | M | 6 | 10 | 4 | 0 |
| 2 | 0 | M | 9 | 2 | 6 |
| 3 | 6 | 6 | M | 0 | 5 |
| 4 | 0 | 0 | 0 | M | 1 |
| 5 | 0 | M | 0 | 0 | M |
Určení hrany větvení a rozdělit celou množinu cest vzhledem k této hraně na dvě podmnožiny (i,j) a (i*,j*).
Za tímto účelem u všech buněk matice s nulovými prvky nahradíme nuly po jedné M (nekonečno) a určíme pro ně součet výsledných redukčních konstant, jsou uvedeny v závorkách.
| já j | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | d i |
| 1 | M | 6 | 10 | 4 | 0(5) | 4 |
| 2 | 0(2) | M | 9 | 2 | 6 | 2 |
| 3 | 6 | 6 | M | 0(5) | 5 | 5 |
| 4 | 0(0) | 0(6) | 0(0) | M | 1 | 0 |
| 5 | 0(0) | M | 0(0) | 0(0) | M | 0 |
| d j | 0 | 6 | 0 | 0 | 1 | 0 |
Největší součet redukčních konstant je (0 + 6) = 6 pro hranu (4,2), proto je množina rozdělena na dvě podmnožiny (4,2) a (4*,2*).
Vyloučení hran(4.2) se provádí nahrazením prvku d 42 = 0 M, načež provedeme další redukci matice vzdáleností pro výslednou podmnožinu (4*,2*), výsledkem je redukovaná matice.
| já j | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | d i |
| 1 | M | 6 | 10 | 4 | 0 | 0 |
| 2 | 0 | M | 9 | 2 | 6 | 0 |
| 3 | 6 | 6 | M | 0 | 5 | 0 |
| 4 | 0 | M | 0 | M | 1 | 0 |
| 5 | 0 | M | 0 | 0 | M | 0 |
| d j | 0 | 6 | 0 | 0 | 0 | 6 |
Povolení hrany(4.2) se provádí eliminací všech prvků 4. řádku a 2. sloupce, ve kterých je prvek d 24 nahrazen M, aby se eliminoval vznik nehamiltonovského cyklu.
Výsledkem je další redukovaná matice (4 x 4), která podléhá operaci redukce.
Po operaci redukce bude redukovaná matice vypadat takto:
| já j | 1 | 3 | 4 | 5 | d i |
| 1 | M | 10 | 4 | 0 | 0 |
| 2 | 0 | 9 | M | 6 | 0 |
| 3 | 6 | M | 0 | 5 | 0 |
| 5 | 0 | 0 | 0 | M | 0 |
| d j | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
Dolní mez podmnožiny (4,2) je rovna: H(4,2) = 41 + 0 = 41 ≤ 47
Protože spodní hranice této podmnožiny (4,2) je menší než podmnožina (4*,2*), zahrneme do trasy hranu (4,2) s novou hranicí H = 41
Krok 2.
Určení hrany větvení a rozdělit celou množinu cest vzhledem k této hraně na dvě podmnožiny (i,j) a (i*,j*).
Za tímto účelem u všech buněk matice s nulovými prvky nahradíme nuly po jedné M (nekonečno) a určíme pro ně součet výsledných redukčních konstant, jsou uvedeny v závorkách.
| já j | 1 | 3 | 4 | 5 | d i |
| 1 | M | 10 | 4 | 0(9) | 4 |
| 2 | 0(6) | 9 | M | 6 | 6 |
| 3 | 6 | M | 0(5) | 5 | 5 |
| 5 | 0(0) | 0(9) | 0(0) | M | 0 |
| d j | 0 | 9 | 0 | 5 | 0 |
Největší součet redukčních konstant je (4 + 5) = 9 pro hranu (1,5), proto je množina rozdělena na dvě podmnožiny (1,5) a (1*,5*).
Vyloučení hran(1.5) se provádí tak, že prvek d 15 = 0 nahradíme M, načež provedeme další redukci matice vzdáleností pro výslednou podmnožinu (1*,5*), čímž získáme redukovanou matici.
| já j | 1 | 3 | 4 | 5 | d i |
| 1 | M | 10 | 4 | M | 4 |
| 2 | 0 | 9 | M | 6 | 0 |
| 3 | 6 | M | 0 | 5 | 0 |
| 5 | 0 | 0 | 0 | M | 0 |
| d j | 0 | 0 | 0 | 5 | 9 |
Povolení hrany(1.5) se provádí eliminací všech prvků 1. řádku a 5. sloupce, ve kterých je prvek d 51 nahrazen M, aby se eliminoval vznik nehamiltonovského cyklu.
Výsledkem je další redukovaná matice (3 x 3), která podléhá operaci redukce.
Po operaci redukce bude redukovaná matice vypadat takto:
| já j | 1 | 3 | 4 | d i |
| 2 | 0 | 9 | M | 0 |
| 3 | 6 | M | 0 | 0 |
| 5 | M | 0 | 0 | 0 |
| d j | 0 | 0 | 0 | 0 |
Dolní mez podmnožiny (1,5) je rovna: H(1,5) = 41 + 0 = 41 ≤ 50
Protože spodní hranice této podmnožiny (1,5) je menší než podmnožina (1*,5*), zahrneme do trasy hranu (1,5) s novou hranicí H = 41
Krok č. 3.
Určení hrany větvení a rozdělit celou množinu cest vzhledem k této hraně na dvě podmnožiny (i,j) a (i*,j*).
Za tímto účelem u všech buněk matice s nulovými prvky nahradíme nuly po jedné M (nekonečno) a určíme pro ně součet výsledných redukčních konstant, jsou uvedeny v závorkách.
| já j | 1 | 3 | 4 | d i |
| 2 | 0(15) | 9 | M | 9 |
| 3 | 6 | M | 0(6) | 6 |
| 5 | M | 0(9) | 0(0) | 0 |
| d j | 6 | 9 | 0 | 0 |
Největší součet redukčních konstant je (9 + 6) = 15 pro hranu (2,1), proto je množina rozdělena na dvě podmnožiny (2,1) a (2*,1*).
Vyloučení hran(2.1) se provádí tak, že prvek d 21 = 0 nahradíme M, načež provedeme další redukci matice vzdáleností pro výslednou podmnožinu (2*,1*), ve výsledku získáme redukovanou matici.
| já j | 1 | 3 | 4 | d i |
| 2 | M | 9 | M | 9 |
| 3 | 6 | M | 0 | 0 |
| 5 | M | 0 | 0 | 0 |
| d j | 6 | 0 | 0 | 15 |
Povolení hrany(2.1) se provádí eliminací všech prvků 2. řádku a 1. sloupce, ve kterém je prvek d 12 nahrazen M, aby se eliminoval vznik nehamiltonovského cyklu.
Výsledkem je další redukovaná matice (2 x 2), která podléhá operaci redukce.
Po operaci redukce bude redukovaná matice vypadat takto:
| já j | 3 | 4 | d i |
| 3 | M | 0 | 0 |
| 5 | 0 | 0 | 0 |
| d j | 0 | 0 | 0 |
∑d i + ∑d j = 0
Dolní mez podmnožiny (2,1) je rovna: H(2,1) = 41 + 0 = 41 ≤ 56
Protože spodní hranice této podmnožiny (2,1) je menší než podmnožina (2*,1*), zahrneme do trasy hranu (2,1) s novou hranicí H = 41.
V souladu s touto maticí zařazujeme do hamiltonovské cesty hrany (3,4) a (5,3).
Výsledkem je, že podél větveného stromu hamiltonovského cyklu tvoří hrany:
(4,2), (2,1), (1,5), (5,3), (3,4). Délka trasy je F(Mk) = 41
Rozhodovací strom.
| 1 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| (5*,2*), H=41 | (5,2) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| (4*, 2*), H=47 | (4,2) | (4*, 3*), H=44 | (4,3) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| (l*,5*), H=50 | (1,5) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| (2*,l*), H=56 | (2,1) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| (3,4) | (3*,4*), H=41 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| (5,3) | (5*,3*), H=41 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Načítání...