שקופית 19

יורד באופן מונוטוני על R ציר השור הוא אסימפטוטה אופקית הגדל באופן מונוטוני על R 8. עבור כל ערכים אמיתיים של x ו-y; a>0, a≠1; b>0, b≠1. 7. אסימפטוטה 6. אקסטרמה 5. מונוטוניות 4. זוגי, אי זוגי 3. מרווחים להשוואת ערכי פונקציה עם אחדות 2. טווח ערכים של פונקציה 1 טווח הגדרה של פונקציה תכונות של פונקציה מעריכית אי-שוויון מעריכי, סוגיהם ושיטות הפתרון שלהם לפונקציה מעריכית אין קיצוניות.הפונקציה אינה זוגית ואינה (פונקציה בעלת צורה כללית).

שקופית 20

אי-שוויון מעריכי, סוגיהם ושיטותיהם לפתרון משימה מס' 1 מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה

שקופית 21

אי-שוויון מעריכי, סוגיהם ושיטותיהם לפתרון משימה מס' 2 קבע את הערכים

שקופית 22

אי-שוויון מעריכי, סוגיהם ושיטותיהם לפתרון משימה מס' 3 קבע את סוג הפונקציה עולה פוחת עולה פוחת

שקופית 23

הכנסת ידע חדש

שקופית 24

אי-שוויון מעריכי, סוגים ושיטות הפתרון שלהם הגדרה של אי-השוויון המעריכיים הפשוטים ביותר: תנו ל-a להיות מספר חיובי נתון שאינו שווה ל-1 ו-b יהיה מספר ממשי נתון. ואז אי השוויון ax>b (ax≥b) ו- ax

שקופית 25

אי-שוויון אקספוננציאלי, סוגיהם ושיטות הפתרון שלהם איך קוראים לפתרון אי-שוויון? הפתרון לאי-שוויון עם x לא ידוע הוא המספר x0, שכאשר מוחלף באי-שוויון, מייצר אי-שוויון מספרי אמיתי.

שקופית 26

אי שוויון אקספוננציאלי, סוגי ושיטות הפתרון שלהם מה זה אומר לפתור אי שוויון? פתרון אי שוויון פירושו למצוא את כל הפתרונות שלו או להראות שאין כאלה.

שקופית 27

הבה נבחן את המיקום היחסי של הגרף של הפונקציה y=ax, a>0, a≠1והקו הישר y=b. אי-שוויון מעריכי, סוגי ושיטות הפתרון שלהם y x y x y=b, b 0 y=b, b> 0 0 1 0 1 x0 x0

שקופית 28

אי-שוויון מעריכי, סוגיהם ושיטות הפתרון שלהם מסקנה מס' 1: כאשר b≤0, הישר y=b אינו חותך את גרף הפונקציה y=ax, מכיוון ממוקם מתחת לעקומה y=ax, לכן אי-השוויון ax>b(ax≥b) מסופקים עבור xR, ואי-השוויון ax

שקופית 29

מסקנה מס' 2: y x ​​0 x0 x1 y=b, b>0 x2 אי-שוויון מעריכי, סוגי ושיטות הפתרון שלהם אם a>1 ו-b > 0, אז עבור כל x1 x0- מתחת לקו הישר y=b . 1 עבור b> 0, הישר y = b חותך את גרף הפונקציה y = ax בנקודה אחת, שהאבססיס שלה הוא x0 = logab

שקופית 30

מסקנה מס' 2: y x ​​0 x0 x1 y=b, b>0 1 אי-שוויון מעריכי, סוגיהם ושיטות הפתרון שלהם אם a>1 ו-b> 0, אז עבור כל x1 >x0 הנקודה המתאימה של הגרף של הפונקציה y=ax ממוקמת מעל הישר y=b, ועבור כל x2 0 הישר y = b חוצה את גרף הפונקציה y = ax בנקודה אחת, שהאבססיס שלה הוא x0 = logab x2

שקופית 31

אי השוויון האקספוננציאלי הפשוט ביותר אי השוויון האקספוננציאלי, סוגי ושיטות הפתרון שלהם

שקופית 32

אי-שוויון מעריכי, סוגים ושיטות הפתרון שלהם דוגמה מס' 1.1 תשובה: עולה על פני כל תחום ההגדרה, פתרון:

שקופית 33

אי-שוויון מעריכי, סוגים ושיטות הפתרון שלהם. דוגמה מס' 1.2 פתרון: תשובה: יורד על פני כל תחום ההגדרה,

שקופית 34

אי-שוויון מעריכי, סוגים ושיטות הפתרון שלהם דוגמה מס' 1.3 פתרון: תשובה: עולה על פני כל תחום ההגדרה,

שקופית 35

אי-שוויון מעריכי, סוגיהם ושיטות לפתרון סוגי אי-שוויון מעריכי ושיטות לפתרונם 1) אי-שוויון מעריכי, מצטמצם לפשוטים ביותר, גדל על פני כל תחום ההגדרה דוגמה מס' 1 תשובה: פתרון:

שקופית 36

אי-שוויון מעריכי, סוגים ושיטות הפתרון שלהם דוגמה מס' 1.4 פתרון: גדל על פני כל תחום ההגדרה, תשובה:

שקופית 37

אי-שוויון מעריכי, סוגיהם ושיטות לפתרון סוגי אי-שוויון מעריכי ושיטות לפתרונם אי-שוויון מעריכי, מצטמצם לפשוטה ביותר דוגמה מס' 2 עולה על פני כל תחום ההגדרה תשובה: פתרון:

שקופית 38

אי-שוויון מעריכי, סוגיהם ושיטות לפתרון סוגי אי-שוויון מעריכי ושיטות לפתרונם 2) אי-שוויון מעריכי, צמצום לאי-שוויון ריבועי דוגמה נחזור למשתנה x עולה עבור כל x מתחום ההגדרה תשובה: פתרון:

שקופית 39

אי-שוויון מעריכי, סוגיהם ושיטות לפתרון סוגי אי-שוויון מעריכי ושיטות לפתרונם 3) אי-שוויון מעריכי הומוגניים מהמעלה הראשונה והשנייה. אי-שוויון מעריכי הומוגניים של מדרגה ראשונה דוגמה מס' 1 גדל על פני כל תחום ההגדרה תשובה: פתרון:

אי-שוויון מעריכי, סוגיהם ושיטות לפתרון סוגי אי-שוויון מעריכי ושיטות לפתרונם 4) אי-שוויון מעריכי, צמצום לאי-שוויון רציונלי דוגמה נחזור למשתנה x עולה על פני כל תחום ההגדרה תשובה: פתרון:

שקופית 43

אי-שוויון מעריכי, סוגיהם ושיטות לפתרון סוגי אי-שוויון מעריכי ושיטות לפתרונם 5) אי-שוויון אקספוננציאלי לא-סטנדרטי דוגמה פתרון: נפתור כל משפט מהקבוצה בנפרד. אי שוויון שווה למצטבר

שקופית 44

אי-שוויון מעריכי, סוגיהם ושיטות לפתרון סוגי אי-שוויון מעריכי ושיטות לפתרונם 5) אי-שוויון אקספוננציאלי לא סטנדרטי דוגמה תשובה: פתרון: סימון הבדיקה הראתה כי x=1, x=3, x=1.5 הם פתרונות ל- משוואה, ו-x=2 אינו פתרון למשוואה. כך,

שקופית 45

איחוד ידע

אילו אי-שוויון נקראים מעריכי? מתי לאי שוויון מעריכי יש פתרון לכל ערך של x? מתי לאי שוויון מעריכי אין פתרונות? אילו סוגי אי שוויון למדת בשיעור זה? כיצד פותרים את אי השוויון הפשוטים ביותר? כיצד פותרים אי שוויון שמצטמצמים לאי שוויון ריבועיים? כיצד פותרים אי שוויון הומוגניים? כיצד נפתרים אי-שוויון שניתן לצמצם לרציונליים?

שקופית 46

סיכום שיעור

גלה מה למדו תלמידים חדשים בשיעור זה תנו ציונים לתלמידים על עבודתם בשיעור עם הערות מפורטות

שקופית 47

שיעורי בית

ספר לימוד לכיתה י' "אלגברה והתחלות ניתוח" מחבר ש.מ. ניקולסקי עיין בפסקאות 6.4 ו-6.6, מס' 6.31-6.35 ומס' 6.45-6.50 לפתור

שקופית 48

אי שוויון אקספוננציאלי, סוגי ושיטות הפתרון שלהם

אנשים רבים חושבים שאי-שוויון אקספוננציאלי הוא משהו מורכב ובלתי מובן. ושהלימוד לפתור אותם היא כמעט אומנות גדולה, שרק הנבחרים מסוגלים להבין...

שטויות גמורות! אי-שוויון אקספוננציאלי זה קל. והם תמיד נפתרים בפשטות. ובכן, כמעט תמיד. :)

היום נבחן את הנושא הזה מבפנים ומבחוץ. שיעור זה יהיה שימושי מאוד עבור אלה שרק מתחילים להבין את החלק הזה של מתמטיקה בבית הספר. נתחיל בבעיות פשוטות ונעבור לנושאים מורכבים יותר. לא תהיה עבודה קשה היום, אבל מה שתקראו עכשיו יספיק כדי לפתור את רוב אי השוויון בכל מיני מבחנים ועבודה עצמאית. וגם בבחינה הזו שלך.

כמו תמיד, נתחיל מההגדרה. אי שוויון מעריכי הוא כל אי שוויון שמכיל פונקציה מעריכית. במילים אחרות, תמיד אפשר לצמצם אותו לאי שוויון של הצורה

\[((a)^(x)) \gt b\]

כאשר התפקיד של $b$ יכול להיות מספר רגיל, או אולי משהו קשוח יותר. דוגמאות? כן בבקשה:

\[\begin(align) & ((2)^(x)) \gt 4;\quad ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2));\ quad ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0.01;\quad ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac (4) )(איקס))). \\\end(align)\]

אני חושב שהמשמעות ברורה: יש פונקציה מעריכית $((a)^(x))$, משווים אותה למשהו ואז מבקשים למצוא את $x$. במקרים קליניים במיוחד, במקום המשתנה $x$, הם יכולים לשים פונקציה כלשהי $f\left(x \right)$ ובכך לסבך מעט את אי השוויון. :)

כמובן שבמקרים מסוימים אי השוויון עשוי להיראות חמור יותר. לדוגמה:

\[((9)^(x))+8 \gt ((3)^(x+2))\]

או אפילו זה:

באופן כללי, המורכבות של אי-שוויון כאלה יכולה להיות שונה מאוד, אבל בסופו של דבר הם עדיין מפחיתים למבנה הפשוט $((a)^(x)) \gt b$. ואיכשהו נבין בנייה כזו (במיוחד במקרים קליניים, כששום דבר לא עולה על דעתנו, לוגריתמים יעזרו לנו). לכן, עכשיו נלמד אותך איך לפתור קונסטרוקציות פשוטות כאלה.

פתרון אי שוויון אקספוננציאלי פשוט

בואו ניקח בחשבון משהו מאוד פשוט. לדוגמה, זה:

\[((2)^(x)) \gt 4\]

ברור שאפשר לכתוב מחדש את המספר בצד ימין בחזקת שתיים: $4=((2)^(2))$. לפיכך, ניתן לשכתב את אי השוויון המקורי בצורה נוחה מאוד:

\[((2)^(x)) \gt ((2)^(2))\]

ועכשיו הידיים שלי מגרדות "להצליב" את השניים בבסיסי הכוחות כדי לקבל את התשובה $x \gt 2$. אבל לפני שנמחק משהו, בואו נזכור את הכוחות של שניים:

\[((2)^(1))=2;\quad ((2)^(2))=4;\quad ((2)^(3))=8;\quad ((2)^( 4))=16;...\]

כפי שאתה יכול לראות, ככל שהמספר במעריך גדול יותר, כך מספר הפלט גדול יותר. "תודה, קאפ!" – יצעק אחד התלמידים. האם זה שונה? למרבה הצער, זה קורה. לדוגמה:

\[((\left(\frac(1)(2) \right))^(1))=\frac(1)(2);\quad ((\left(\frac(1)(2) \ right))^(2))=\frac(1)(4);\quad ((\left(\frac(1)(2) \right))^(3))=\frac(1)(8) );...\]

גם כאן הכל הגיוני: ככל שהדרגה גדולה יותר, כך המספר 0.5 מוכפל בעצמו (כלומר, מחולק לחצי). לפיכך, רצף המספרים המתקבל הולך ופוחת, וההבדל בין הרצף הראשון והשני הוא רק בבסיס:

• אם בסיס התואר $a \gt 1$, אז ככל שהמעריך $n$ יגדל, גם המספר $((a)^(n))$ יגדל;
• ולהיפך, אם $0 \lt a \lt 1$, אז ככל שהמעריך $n$ גדל, המספר $((a)^(n))$ יקטן.

אם נסכם את העובדות הללו, אנו מקבלים את ההצהרה החשובה ביותר שעליה מבוסס הפתרון כולו של אי-שוויון מעריכי:

אם $a \gt 1$, אז אי השוויון $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ שווה ערך לאי השוויון $x \gt n$. אם $0 \lt a \lt 1$, אז אי השוויון $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ שווה ערך לאי השוויון $x \lt n$.

במילים אחרות, אם הבסיס גדול מאחד, אפשר פשוט להסיר אותו - סימן אי השוויון לא ישתנה. ואם הבסיס הוא פחות מאחד, אז אפשר גם להסיר אותו, אבל במקביל תצטרך לשנות את סימן אי השוויון.

שים לב שלא שקלנו את האפשרויות $a=1$ ו-$a\le 0$. כי במקרים אלו נוצרת אי ודאות. נגיד איך פותרים אי שוויון בצורה $((1)^(x)) \gt 3$? אחד לכל כוח ייתן שוב אחד - לעולם לא נקבל שלושה או יותר. הָהֵן. אין פתרונות.

עם סיבות שליליות הכל אפילו יותר מעניין. לדוגמה, שקול את אי השוויון הזה:

\[((\left(-2 \right))^(x)) \gt 4\]

במבט ראשון הכל פשוט:

ימין? אבל לא! מספיק להחליף כמה מספרים זוגיים וזוגים אי-זוגיים במקום $x$ כדי לוודא שהפתרון שגוי. תסתכל:

\[\begin(align) & x=4\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(4))=16 \gt 4; \\ & x=5\חץ ימינה ((\left(-2 \right))^(5))=-32 \lt 4; \\ & x=6\חץ ימינה ((\left(-2 \right))^(6))=64 \gt 4; \\ & x=7\rightarrow ((\left(-2 \right))^(7))=-128 \lt 4. \\\end(align)\]

כפי שאתה יכול לראות, השלטים מתחלפים. אבל יש גם סמכויות חלקיות ושטויות אחרות. איך, למשל, תזמין לחשב $((\left(-2 \right))^(\sqrt(7)))$ (מינוס שתיים בחזקת שבע)? אין סיכוי!

לכן, למען הבירור, אנו מניחים שבכל אי השוויון המעריכיים (וגם המשוואות, אגב, גם) $1\ne a \gt 0$. ואז הכל נפתר בפשטות:

\[((a)^(x)) \gt ((a)^(n))\rightarrow \left[ \begin(align) & x \gt n\quad \left(a \gt 1 \right), \\ & x \lt n\quad \left(0 \lt a \lt 1 \right). \\\end(align) \right.\]

באופן כללי, זכור את הכלל העיקרי שוב: אם הבסיס במשוואה מעריכית גדול מאחד, אתה יכול פשוט להסיר אותו; ואם הבסיס קטן מאחד, אפשר גם להסירו, אבל סימן אי השוויון ישתנה.

דוגמאות לפתרונות

אז בואו נסתכל על כמה אי-שוויון מעריכי פשוט:

\[\begin(align) & ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0.01; \\ & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25). \\\end(align)\]

המשימה העיקרית בכל המקרים היא זהה: לצמצם את אי השוויון לצורה הפשוטה ביותר $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$. זה בדיוק מה שנעשה עכשיו עם כל אי שוויון, ובמקביל נחזור על תכונות של מעלות ופונקציות מעריכיות. אז בוא נלך!

\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\]

מה אתה יכול לעשות כאן? ובכן, בצד שמאל יש לנו כבר ביטוי אינדיקטיבי - אין צורך לשנות דבר. אבל בצד ימין יש איזה שטויות: שבר, ואפילו שורש במכנה!

עם זאת, הבה נזכור את הכללים לעבודה עם שברים וחזקות:

\[\begin(align) & \frac(1)(((a)^(n)))=((a)^(-n)); \\ & \sqrt[k](a)=((a)^(\frac(1)(k))). \\\end(align)\]

מה זה אומר? ראשית, נוכל בקלות להיפטר מהשבר על ידי הפיכתו לחזקה עם מעריך שלילי. ושנית, מכיוון שלמכנה יש שורש, יהיה נחמד להפוך אותו לחזקה - הפעם עם מעריך שבר.

הבה נחיל את הפעולות הללו ברצף לצד הימני של אי השוויון ונראה מה קורה:

\[\frac(1)(\sqrt(2))=((\left(\sqrt(2) \right))^(-1))=((\left(((2)^(\frac( 1)(3))) \right))^(-1))=((2)^(\frac(1)(3)\cdot \left(-1 \right)))=((2)^ (-\frac(1)(3)))\]

אל תשכח שכאשר מעלים תואר לעוצמה, המעריכים של דרגות אלו מסתכמות. ובאופן כללי, כאשר עובדים עם משוואות מעריכיות ואי-שוויון, יש צורך לדעת לפחות את הכללים הפשוטים ביותר לעבודה עם כוחות:

\[\begin(align) & ((a)^(x))\cdot ((a)^(y))=((a)^(x+y)); \\ & \frac(((a)^(x)))(((a)^(y)))=((a)^(x-y)); \\ & ((\left(((a)^(x)) \right))^(y))=((a)^(x\cdot y)). \\\end(align)\]

למעשה, רק יישם את הכלל האחרון. לכן, אי השוויון המקורי שלנו ישוכתב באופן הבא:

\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\rightarrow ((2)^(x-1))\le ((2)^(-\ frac(1)(3)))\]

עכשיו אנחנו נפטרים מהשניים בבסיס. מאז 2 > 1, סימן אי השוויון יישאר זהה:

\[\begin(align) & x-1\le -\frac(1)(3)\Rightarrow x\le 1-\frac(1)(3)=\frac(2)(3); \\ & x\in \left(-\infty ;\frac(2)(3) \right]. \\\end(align)\]

זה הפתרון! הקושי העיקרי הוא בכלל לא בפונקציה האקספוננציאלית, אלא בטרנספורמציה המוסמכת של הביטוי המקורי: אתה צריך בזהירות ובמהירות להביא אותו לצורתו הפשוטה ביותר.

קחו בחשבון את אי השוויון השני:

\[((0.1)^(1-x)) \lt 0.01\]

ככה ככה. שברים עשרוניים מחכים לנו כאן. כפי שאמרתי לא פעם, בכל ביטוי עם חזקה כדאי להיפטר מהעשרונים - לרוב זו הדרך היחידה לראות פתרון מהיר ופשוט. כאן ניפטר מ:

\[\begin(align) & 0.1=\frac(1)(10);\quad 0.01=\frac(1)(100)=((\left(\frac(1)(10)\right))^ (2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\rightarrow ((\left(\frac(1)(10) \right))^(1-x)) \lt ( (\left(\frac(1)(10) \right))^(2)). \\\end(align)\]

כאן שוב יש לנו את אי השוויון הפשוט ביותר, ואפילו עם בסיס של 1/10, כלומר. פחות מאחד. ובכן, אנו מסירים את הבסיסים, ובו זמנית משנים את הסימן מ"פחות" ל"יותר", ומקבלים:

\[\begin(align) & 1-x \gt 2; \\ & -x \gt 2-1; \\ & -x \gt 1; \\& x \lt -1. \\\end(align)\]

קיבלנו את התשובה הסופית: $x\in \left(-\infty ;-1 \right)$. שימו לב: התשובה היא בדיוק קבוצה, ובשום מקרה לא בנייה של הצורה $x \lt -1$. כי פורמלית, בנייה כזו היא בכלל לא קבוצה, אלא אי שוויון ביחס למשתנה $x$. כן, זה מאוד פשוט, אבל זו לא התשובה!

הערה חשובה. ניתן לפתור את אי השוויון הזה בדרך אחרת - על ידי צמצום שני הצדדים לחזקה עם בסיס גדול מאחד. תסתכל:

\[\frac(1)(10)=((10)^(-1))\חץ ימינה ((\left(((10)^(-1))\right))^(1-x)) \ lt ((\left(((10)^(-1)) \right))^(2))\rightarrow ((10)^(-1\cdot \left(1-x \right))) \lt ((10)^(-1\cdot 2))\]

לאחר טרנספורמציה כזו, נקבל שוב אי שוויון מעריכי, אבל עם בסיס של 10 > 1. זה אומר שאנחנו יכולים פשוט למחוק את העשר - סימן אי השוויון לא ישתנה. אנחנו מקבלים:

\[\begin(align) & -1\cdot \left(1-x \right) \lt -1\cdot 2; \\ & x-1 \lt -2; \\ & x \lt -2+1=-1; \\ & x \lt -1. \\\end(align)\]

כפי שאתה יכול לראות, התשובה הייתה זהה לחלוטין. יחד עם זאת, הצלנו את עצמנו מהצורך לשנות את השלט ובאופן כללי לזכור כללים. :)

\[((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16\]

עם זאת, אל תיתן לזה להפחיד אותך. לא משנה מה יש באינדיקטורים, הטכנולוגיה לפתרון אי השוויון עצמה נשארת זהה. לכן, נציין תחילה כי 16 = 2 4. הבה נשכתב את אי השוויון המקורי תוך התחשבות בעובדה זו:

\[\begin(align) & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt ((2)^(4)); \\ & ((x)^(2))-7x+14 \lt 4; \\ & ((x)^(2))-7x+10 \lt 0. \\\end(align)\]

הידד! קיבלנו את אי השוויון הריבועי הרגיל! השלט לא השתנה בשום מקום, שכן הבסיס הוא שניים - מספר גדול מאחד.

אפסים של פונקציה על קו המספרים

אנחנו מסדרים את הסימנים של הפונקציה $f\left(x \right)=((x)^(2))-7x+10$ - ברור שהגרף שלה יהיה פרבולה עם ענפים למעלה, אז יהיו "פלוסים" " בצדדים. אנו מתעניינים באזור בו הפונקציה קטנה מאפס, כלומר. $x\in \left(2;5 \right)$ היא התשובה לבעיה המקורית.

לבסוף, שקול אי שוויון נוסף:

\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\]

שוב אנו רואים פונקציה אקספוננציאלית עם שבר עשרוני בבסיס. בואו נמיר את השבר הזה לשבר רגיל:

\[\begin(align) & 0.2=\frac(2)(10)=\frac(1)(5)=((5)^(-1))\Rightarrow \\ & \Rightarrow ((0 ,2) )^(1+((x)^(2))))=((\left(((5)^(-1)) \right))^(1+((x)^(2) )) )=((5)^(-1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)))\end(align)\]

במקרה זה, השתמשנו בהערה שניתנה קודם - הפחתנו את הבסיס למספר 5 > 1 כדי לפשט את הפתרון הנוסף שלנו. בואו נעשה את אותו הדבר עם הצד הימני:

\[\frac(1)(25)=((\left(\frac(1)(5) \right))^(2))=((\left(((5)^(-1))) \ מימין))^(2))=((5)^(-1\cdot 2))=((5)^(-2))\]

הבה נכתוב מחדש את אי השוויון המקורי תוך התחשבות בשתי התמורות:

\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\rightarrow ((5)^(-1\cdot \left(1+) ((x)^(2)) \right)))\ge ((5)^(-2))\]

הבסיסים משני הצדדים זהים ועולים על אחד. אין מונחים אחרים על ימין ועל שמאל, אז אנחנו פשוט "מוחצים" את החמישיות ומקבלים ביטוי פשוט מאוד:

\[\begin(align) & -1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)\ge -2; \\ & -1-((x)^(2))\ge -2; \\ & -((x)^(2))\ge -2+1; \\ & -((x)^(2))\ge -1;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))\le 1. \\\end(align)\]

זה המקום שבו אתה צריך להיות זהיר יותר. תלמידים רבים אוהבים פשוט לקחת את השורש הריבועי של שני הצדדים של אי השוויון ולכתוב משהו כמו $x\le 1\Rightarrow x\in \left(-\infty ;-1 \right]$. בשום פנים ואופן אין לעשות זאת , מכיוון שהשורש של ריבוע מדויק הוא מודולוס, ובשום מקרה לא משתנה מקורי:

\[\sqrt(((x)^(2)))=\left| x\right|\]

עם זאת, עבודה עם מודולים היא לא החוויה הכי נעימה, נכון? אז אנחנו לא נעבוד. במקום זאת, אנו פשוט מזיזים את כל המונחים שמאלה ופותרים את אי השוויון הרגיל בשיטת המרווחים:

$\begin(align) & ((x)^(2))-1\le 0; \\ & \left(x-1 \right)\left(x+1 \right)\le 0 \\ & ((x)_(1))=1;\quad ((x)_(2)) =-1; \\\end(align)$

אנו שוב מסמנים את הנקודות שהתקבלו על קו המספרים ונתבונן בסימנים:

מכיוון שפתרנו אי שוויון לא קפדני, כל הנקודות בגרף מוצללות. לכן, התשובה תהיה: $x\in \left[ -1;1 \right]$ אינו מרווח, אלא קטע.

באופן כללי, אני רוצה לציין שאין שום דבר מסובך באי-שוויון מעריכי. המשמעות של כל הטרנספורמציות שביצענו היום מסתכמת באלגוריתם פשוט:

• מצא את הבסיס שאליו נצמצם את כל המעלות;
• בצע בזהירות את הטרנספורמציות כדי להשיג אי שוויון בצורה $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$. כמובן שבמקום המשתנים $x$ ו-$n$ יכולות להיות פונקציות הרבה יותר מורכבות, אבל המשמעות לא תשתנה;
• חוצים את הבסיסים של המעלות. במקרה זה, סימן אי השוויון עשוי להשתנות אם הבסיס $a \lt 1$.

למעשה, זהו אלגוריתם אוניברסלי לפתרון כל אי-השוויון שכזה. וכל מה שהם יגידו לכם בנושא זה רק טכניקות וטריקים ספציפיים שיפשטו ויזרזו את השינוי. נדבר על אחת מהטכניקות האלה עכשיו. :)

שיטת רציונליזציה

הבה נבחן סט נוסף של אי-שוויון:

\[\begin(align) & ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi \!\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1; \\ & ((\left(\frac(1)(3) \right))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \right))^(16-x)); \\ & ((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2))))) \lt 1. \\\end(align)\]

אז מה כל כך מיוחד בהם? הם קלים. אמנם, תפסיק! האם המספר π מועלה בעוצמה כלשהי? איזה שטויות?

איך להעלות את המספר $2\sqrt(3)-3$ לחזקה? או $3-2\sqrt(2)$? הכותבים הבעייתיים כמובן שתו יותר מדי עוזרד לפני שישבו לעבוד. :)

למעשה, אין שום דבר מפחיד במשימות האלה. תן לי להזכיר לך: פונקציה מעריכית היא ביטוי של הצורה $((a)^(x))$, כאשר הבסיס $a$ הוא כל מספר חיובי מלבד אחד. המספר π חיובי - אנחנו כבר יודעים את זה. המספרים $2\sqrt(3)-3$ ו-$3-2\sqrt(2)$ גם הם חיוביים - זה קל לראות אם אתה משווה אותם עם אפס.

מסתבר שכל אי השוויון ה"מפחיד" הללו נפתרים לא שונה מהפשוטים שנדונו לעיל? והאם הם נפתרים באותו אופן? כן, זה לגמרי נכון. עם זאת, באמצעות הדוגמה שלהם, הייתי רוצה לשקול טכניקה אחת שחוסכת מאוד זמן בעבודה עצמאית ובבחינות. נדבר על שיטת הרציונליזציה. אז תשומת לב:

כל אי שוויון מעריכי בצורת $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ שווה ערך לאי השוויון $\left(x-n \right)\cdot \left(a-1 \ מימין) \gt 0 $.

זו כל השיטה :) חשבת שיהיה איזה משחק אחר? שום דבר כזה! אבל העובדה הפשוטה הזו, הכתובה ממש בשורה אחת, תפשט מאוד את העבודה שלנו. תסתכל:

\[\begin(matrix) ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi\ !\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)) \\ \Downarrow \\ \left(x+7-\left(((x)^(2))) -3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right) \gt 0 \\\end(matrix)\]

אז אין יותר פונקציות אקספוננציאליות! ואתה לא צריך לזכור אם השלט משתנה או לא. אבל מתעוררת בעיה חדשה: מה לעשות עם המכפיל הארור \[\left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right)\]? אנחנו לא יודעים מה הערך המדויק של המספר π. עם זאת, נראה שהקפטן רומז על המובן מאליו:

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )\approx 3.14... \gt 3\rightarrow \text( )\!\!\pi\!\!\text( )- 1\gt 3-1=2\]

באופן כללי, הערך המדויק של π לא ממש נוגע לנו - רק חשוב לנו להבין שבכל מקרה $\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \gt 2 $, t.e. זהו קבוע חיובי, ואנחנו יכולים לחלק בו את שני הצדדים של אי השוויון:

\[\begin(align) & \left(x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text( )\!\! \pi\!\!\text( )-1 \right) \gt 0 \\ & x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \gt 0; \\ & x+7-((x)^(2))+3x-2 \gt 0; \\ & -((x)^(2))+4x+5 \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))-4x-5 \lt 0; \\ & \left(x-5 \right)\left(x+1 \right) \lt 0. \\\end(align)\]

כפי שאתה יכול לראות, ברגע מסוים היינו צריכים לחלק במינוס אחד - והסימן של אי השוויון השתנה. בסוף הרחבתי את הטרינום הריבועי באמצעות משפט וייטה - ברור שהשורשים שווים ל-$((x)_(1))=5$ ו-$((x)_(2))=-1$ . ואז הכל נפתר בשיטת המרווחים הקלאסית:

כל הנקודות מוסרות כי אי השוויון המקורי הוא קפדני. אנחנו מעוניינים באזור עם ערכים שליליים, אז התשובה היא $x\in \left(-1;5 \right)$. זה הפתרון. :)

נעבור למשימה הבאה:

\[((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1\]

הכל כאן פשוט בדרך כלל, כי יש יחידה בצד ימין. ואנחנו זוכרים שאחד הוא כל מספר שהועלה בחזקת אפס. גם אם המספר הזה הוא ביטוי לא רציונלי בבסיס משמאל:

\[\begin(align) & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1=((\left(2) \sqrt(3)-3 \right))^(0)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(0)); \\\end(align)\]

ובכן, בואו נעשה רציונליזציה:

\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-3-1 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-4 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0. \\\end(align)\ ]

כל מה שנותר הוא להבין את הסימנים. הגורם $2\left(\sqrt(3)-2 \right)$ אינו מכיל את המשתנה $x$ - הוא רק קבוע, ועלינו לברר את הסימן שלו. לשם כך, שים לב לדברים הבאים:

\[\begin(matrix) \sqrt(3) \lt \sqrt(4)=2 \\ \Downarrow \\ 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 2\cdot \left(2) -2 \right)=0 \\\end(מטריקס)\]

מסתבר שהגורם השני הוא לא רק קבוע, אלא קבוע שלילי! וכאשר מחלקים בו, סימן אי השוויון המקורי משתנה להיפך:

\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0; \\ & ((x)^(2))-2x-0 \gt 0; \\ & x\left(x-2 \right) \gt 0. \\\end(align)\]

עכשיו הכל הופך ברור לחלוטין. השורשים של הטרינום הריבועי מימין הם: $((x)_(1))=0$ ו-$((x)_(2))=2$. נסמן אותם על קו המספרים ונסתכל על הסימנים של הפונקציה $f\left(x \right)=x\left(x-2 \right)$:

אנו מעוניינים במרווחים המסומנים בסימן פלוס. כל מה שנותר הוא לרשום את התשובה:

נעבור לדוגמא הבאה:

\[((\left(\frac(1)(3) \right))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \ מימין))^(16-x))\]

ובכן, הכל ברור לגמרי כאן: הבסיסים מכילים חזקות של אותו מספר. לכן אכתוב הכל בקצרה:

\[\begin(matrix) \frac(1)(3)=((3)^(-1));\quad \frac(1)(9)=\frac(1)(((3)^( 2)))=((3)^(-2)) \\ \Downarrow \\ ((\left(((3)^(-1)) \right))^(((x)^(2) )+2x)) \gt ((\left(((3)^(-2)) \right))^(16-x)) \\\end(matrix)\]

\[\begin(align) & ((3)^(-1\cdot \left(((x)^(2))+2x \right))) \gt ((3)^(-2\cdot \ left(16-x \right))); \\ & ((3)^(-((x)^(2))-2x)) \gt ((3)^(-32+2x)); \\ & \left(-((x)^(2))-2x-\left(-32+2x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right) \gt 0; \\ & -((x)^(2))-2x+32-2x \gt 0; \\ & -((x)^(2))-4x+32 \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))+4x-32 \lt 0; \\ & \left(x+8 \right)\left(x-4 \right) \lt 0. \\\end(align)\]

כפי שניתן לראות, במהלך תהליך הטרנספורמציה היינו צריכים להכפיל במספר שלילי, ולכן סימן אי השוויון השתנה. בסוף, שוב יישמתי את משפט וייטה כדי לקדם את הטרינום הריבועי. כתוצאה מכך, התשובה תהיה הבאה: $x\in \left(-8;4 \right)$ - כל אחד יכול לאמת זאת על ידי ציור קו מספרים, סימון הנקודות וספירת הסימנים. בינתיים, נעבור לאי השוויון האחרון מה"סט" שלנו:

\[((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2))))) \lt 1\]

כפי שאתה יכול לראות, בבסיס יש שוב מספר אי רציונלי, ומימין יש שוב יחידה. לכן, אנו משכתבים את אי השוויון האקספוננציאלי שלנו באופן הבא:

\[((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt ((\left(3-2\sqrt(2) \ מימין))^(0))\]

אנו מיישמים רציונליזציה:

\[\begin(align) & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(3-2\sqrt(2)-1 \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(2-2\sqrt(2) \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0. \\\end(align)\ ]

עם זאת, די ברור ש$1-\sqrt(2) \lt 0$, שכן $\sqrt(2)\בערך 1,4... \gt 1$. לכן, הגורם השני הוא שוב קבוע שלילי, שבו ניתן לחלק את שני הצדדים של אי השוויון:

\[\begin(matrix) \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0 \\ \Downarrow \ \\end(מטריקס)\]

\[\begin(align) & 3x-((x)^(2))-0 \gt 0; \\ & 3x-((x)^(2)) \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))-3x \lt 0; \\ & x\left(x-3 \right) \lt 0. \\\end(align)\]

תעבור לבסיס אחר

בעיה נפרדת בפתרון אי-שוויון מעריכי היא החיפוש אחר הבסיס ה"נכון". למרבה הצער, לא תמיד ברור במבט ראשון במשימה מה לקחת כבסיס, ומה לעשות לפי מידת הבסיס הזה.

אבל אל דאגה: אין כאן קסם או טכנולוגיה "סודית". במתמטיקה, ניתן לפתח בקלות כל מיומנות שאינה ניתנת לאלגוריתם באמצעות תרגול. אבל בשביל זה תצטרך לפתור בעיות ברמות שונות של מורכבות. לדוגמה, כך:

\[\begin(align) & ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x))); \\ & ((\left(\frac(1)(3) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & ((\left(0,16 \right))^(1+2x))\cdot ((\left(6,25 \right))^(x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \right))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81. \\\ end(align)\]

קָשֶׁה? מַפְחִיד? זה קל יותר מאשר להכות עוף על האספלט! בוא ננסה. אי שוויון ראשון:

\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x))))\]

ובכן, אני חושב שהכל ברור כאן:

אנו משכתבים את אי השוויון המקורי, ומצמצמים הכל לבסיס שני:

\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((2)^(\frac(8)(x)))\rightarrow \left(\frac(x)(2)- \frac(8)(x) \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0\]

כן, כן, שמעתם נכון: פשוט יישמתי את שיטת הרציונליזציה שתוארה לעיל. עכשיו צריך לעבוד בזהירות: יש לנו אי שוויון שברי-רציונלי (זה שיש לו משתנה במכנה), אז לפני שמשווים משהו לאפס, צריך להביא הכל למכנה משותף ולהיפטר מהגורם הקבוע .

\[\begin(align) & \left(\frac(x)(2)-\frac(8)(x) \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0; \\ & \left(\frac(((x)^(2))-16)(2x) \right)\cdot 1 \lt 0; \\ & \frac(((x)^(2))-16)(2x) \lt 0. \\\end(align)\]

כעת אנו משתמשים בשיטת המרווחים הסטנדרטית. אפסים מונה: $x=\pm 4$. המכנה הולך לאפס רק כאשר $x=0$. ישנן שלוש נקודות בסך הכל שצריך לסמן על קו המספרים (כל הנקודות מוצמדות מכיוון שסימן אי השוויון קפדני). אנחנו מקבלים:

כפי שניתן לנחש, ההצללה מסמנת את המרווחים שבהם הביטוי משמאל מקבל ערכים שליליים. לכן, התשובה הסופית תכלול שני מרווחים בבת אחת:

קצוות המרווחים אינם כלולים בתשובה כי אי השוויון המקורי היה קפדני. אין צורך באימות נוסף של תשובה זו. בהקשר זה, אי שוויון מעריכי הרבה יותר פשוט מאלה לוגריתמי: אין ODZ, אין הגבלות וכו'.

נעבור למשימה הבאה:

\[((\left(\frac(1)(3) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x))\]

גם כאן אין בעיות, מכיוון שאנו כבר יודעים ש$\frac(1)(3)=((3)^(-1))$, אז ניתן לשכתב את כל אי השוויון באופן הבא:

\[\begin(align) & ((\left(((3)^(-1)) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x ))\ חץ ימינה ((3)^(-\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & \left(-\frac(3)(x)-\left(2+x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right)\ge 0; \\ & \left(-\frac(3)(x)-2-x \right)\cdot 2\ge 0;\quad \left| :\left(-2 \right) \right. \\ & \frac(3)(x)+2+x\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))+2x+3)(x)\le 0. \\\end(align)\]

שימו לב: בשורה השלישית החלטתי לא לבזבז זמן על זוטות ומיד לחלק הכל ב-(−2). מינול נכנס לסוגר הראשון (עכשיו יש פלוסים בכל מקום), ושניים הצטמצמו עם פקטור קבוע. זה בדיוק מה שאתה צריך לעשות כשאתה מכין חישובים אמיתיים לעבודה עצמאית ומבחן - אתה לא צריך לתאר כל פעולה ושינוי ישירות.

בשלב הבא נכנסת לתמונה שיטת המרווחים המוכרת. מונה אפסים: אבל אין כאלה. כי המפלה תהיה שלילית. בתורו, המכנה מאופס רק כאשר $x=0$ - בדיוק כמו בפעם הקודמת. ובכן, ברור שמימין ל$x=0$ השבר יקבל ערכים חיוביים, ומשמאל - שלילי. מכיוון שאנו מעוניינים בערכים שליליים, התשובה הסופית היא: $x\in \left(-\infty ;0 \right)$.

\[((\left(0.16 \right))^(1+2x))\cdot ((\left(6.25 \right))^(x))\ge 1\]

מה עליך לעשות עם שברים עשרוניים באי-שוויון מעריכי? זה נכון: להיפטר מהם, ולהמיר אותם לרגילים. כאן נתרגם:

\[\begin(align) & 0.16=\frac(16)(100)=\frac(4)(25)\rightarrow ((\left(0.16 \right))^(1+2x)) =((\ left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x)); \\ & 6.25=\frac(625)(100)=\frac(25)(4)\rightarrow ((\left(6.25 \right))^(x))=((\left(\ frac(25) (4)\right))^(x)). \\\end(align)\]

אז מה קיבלנו ביסודות של פונקציות אקספוננציאליות? וקיבלנו שני מספרים הפוכים זה לזה:

\[\frac(25)(4)=((\left(\frac(4)(25) \right))^(-1))\rightarrow ((\left(\frac(25)(4) \ ימין))^(x))=((\left(((\left(\frac(4)(25) \right))^(-1)) \right))^(x))=((\ left(\frac(4)(25) \right))^(-x))\]

לפיכך, ניתן לשכתב את אי השוויון המקורי באופן הבא:

\[\begin(align) & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x))\cdot ((\left(\frac(4)(25) \right) )^(-x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x+\left(-x \right)))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0)); \\ & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right)))^(0) ). \\\end(align)\]

כמובן שכאשר מכפילים חזקות עם אותו בסיס, המעריכים שלהם מצטברים, וזה מה שקרה בשורה השנייה. בנוסף, ייצגנו את היחידה מימין, גם ככוח בבסיס 4/25. כל מה שנותר הוא לעשות רציונליזציה:

\[((\left(\frac(4)(25) \right))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0)) \rightarrow \left(x+1-0 \right)\cdot \left(\frac(4)(25)-1 \right)\ge 0\]

שימו לב ש$\frac(4)(25)-1=\frac(4-25)(25) \lt 0$, כלומר. הגורם השני הוא קבוע שלילי, וכאשר מחלקים בו, סימן אי השוויון ישתנה:

\[\begin(align) & x+1-0\le 0\Rightarrow x\le -1; \\ & x\in \left(-\infty ;-1 \right]. \\\end(align)\]

לבסוף, אי השוויון האחרון מה"סט" הנוכחי:

\[((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \right))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81\]

באופן עקרוני, גם רעיון הפתרון כאן ברור: יש לצמצם את כל הפונקציות המעריכיות הכלולות באי השוויון לבסיס "3". אבל בשביל זה תצטרך להתעסק קצת בשורשים ובכוחות:

\[\begin(align) & \frac(27)(\sqrt(3))=\frac(((3)^(3)))(((3)^(\frac(1)(3)) ))=((3)^(3-\frac(1)(3)))=((3)^(\frac(8)(3))); \\ & 9=((3)^(2));\quad 81=((3)^(4)). \\\end(align)\]

בהתחשב בעובדות אלו, ניתן לשכתב את אי השוויון המקורי באופן הבא:

\[\begin(align) & ((\left(((3)^(\frac(8)(3))) \right))^(-x)) \lt ((\left(((3)) ^(2))\right))^(4-2x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x+4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(4-4x)). \\\end(align)\]

שימו לב לשורות ה-2 וה-3 של החישובים: לפני שאתם עושים משהו עם אי השוויון, הקפידו להביא אותו לצורה שדיברנו עליה מתחילת השיעור: $((a)^(x)) \ lt ((a)^(n))$. כל עוד יש לך כמה גורמים שמאליים, קבועים נוספים וכו' משמאל או ימין, לא ניתן לבצע רציונליזציה או "חציית" של עילות! אינספור משימות הושלמו בצורה שגויה עקב אי הבנת העובדה הפשוטה הזו. אני עצמי מבחין כל הזמן בבעיה זו עם התלמידים שלי כשאנחנו רק מתחילים לנתח אי שוויון מעריכי ולוגיריתמי.

אבל בואו נחזור למשימה שלנו. בואו ננסה להסתדר בלי רציונליזציה הפעם. הבה נזכור: בסיס התואר גדול מאחד, כך שניתן פשוט למחוק את השלשות - סימן אי השוויון לא ישתנה. אנחנו מקבלים:

\[\begin(align) & -\frac(8x)(3) \lt 4-4x; \\ & 4x-\frac(8x)(3) \lt 4; \\ & \frac(4x)(3) \lt 4; \\ & 4x \lt 12; \\ & x \lt 3. \\\end(align)\]

זה הכל. תשובה סופית: $x\in \left(-\infty ;3 \right)$.

בידוד ביטוי יציב והחלפת משתנה

לסיכום, אני מציע לפתור עוד ארבעה אי-שוויון אקספוננציאלי, שכבר די קשים לתלמידים לא מוכנים. כדי להתמודד איתם, אתה צריך לזכור את הכללים לעבודה עם תארים. בפרט, הוצאת גורמים משותפים מחוץ לסוגריים.

אבל הדבר החשוב ביותר הוא ללמוד להבין מה בדיוק ניתן להוציא מסוגריים. ביטוי כזה נקרא יציב - ניתן לסמן אותו במשתנה חדש וכך להיפטר מהפונקציה האקספוננציאלית. אז בואו נסתכל על המשימות:

\[\begin(align) & ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6; \\ & ((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90; \\ & ((25)^(x+1.5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500; \\ & ((\left(0.5 \right))^(-4x-8))-((16)^(x+1.5)) \gt 768. \\\end(align)\]

נתחיל מהשורה הראשונה. הבה נכתוב את אי השוויון הזה בנפרד:

\[((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6\]

שים לב ש$((5)^(x+2))=((5)^(x+1+1))=((5)^(x+1))\cdot 5$, אז יד ימין ניתן לשכתב את הצד:

שימו לב שאין פונקציות אקספוננציאליות אחרות מלבד $((5)^(x+1))$ באי השוויון. ובכלל, המשתנה $x$ לא מופיע בשום מקום אחר, אז בואו נציג משתנה חדש: $((5)^(x+1))=t$. אנו מקבלים את הבנייה הבאה:

\[\begin(align) & 5t+t\ge 6; \\&6t\ge 6; \\ & t\ge 1. \\\end(align)\]

נחזור למשתנה המקורי ($t=((5)^(x+1))$), ובמקביל נזכור ש-1=5 0 . יש לנו:

\[\begin(align) & ((5)^(x+1))\ge ((5)^(0)); \\ & x+1\ge 0; \\ & x\ge -1. \\\end(align)\]

זה הפתרון! תשובה: $x\in \left[ -1;+\infty \right)$. נעבור לאי השוויון השני:

\[((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90\]

הכל זהה כאן. שים לב ש$((3)^(x+2))=((3)^(x))\cdot ((3)^(2))=9\cdot ((3)^(x))$ . לאחר מכן ניתן לשכתב את הצד השמאלי:

\[\begin(align) & ((3)^(x))+9\cdot ((3)^(x))\ge 90;\quad \left| ((3)^(x))=t \right. \\&t+9t\ge 90; \\ & 10t\ge 90; \\ & t\ge 9\חץ ימינה ((3)^(x))\ge 9\חץ ימינה ((3)^(x))\ge ((3)^(2)); \\ & x\ge 2\Rightarrow x\in \left[ 2;+\infty \right). \\\end(align)\]

כך בערך אתה צריך לשרטט פתרון למבחנים אמיתיים ולעבודה עצמאית.

ובכן, בוא ננסה משהו יותר מסובך. לדוגמה, הנה אי השוויון:

\[((25)^(x+1.5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500\]

מה הבעיה כאן? קודם כל, הבסיסים של הפונקציות האקספוננציאליות בצד שמאל שונים: 5 ו-25. עם זאת, 25 = 5 2, כך שניתן לשנות את האיבר הראשון:

\[\begin(align) & ((25)^(x+1.5))=((\left(((5)^(2)) \right))^(x+1.5))= ((5) ^(2x+3)); \\ & ((5)^(2x+3))=((5)^(2x+2+1))=((5)^(2x+2))\cdot 5. \\\end(align )\]

כפי שאתה יכול לראות, בהתחלה הבאנו הכל לאותו בסיס, ואז שמנו לב שאפשר בקלות לצמצם את האיבר הראשון לשני - אתה רק צריך להרחיב את המעריך. כעת אתה יכול להציג בבטחה משתנה חדש: $((5)^(2x+2))=t$, ואי השוויון כולו ייכתב מחדש באופן הבא:

\[\begin(align) & 5t-t\ge 2500; \\&4t\ge 2500; \\ & t\ge 625=((5)^(4)); \\ & ((5)^(2x+2))\ge ((5)^(4)); \\ & 2x+2\ge 4; \\&2x\ge 2; \\ & x\ge 1. \\\end(align)\]

ושוב, אין קשיים! תשובה סופית: $x\in \left[ 1;+\infty \right)$. בואו נעבור לאי השוויון הסופי בשיעור של היום:

\[((\left(0.5 \right))^(-4x-8))-((16)^(x+1.5)) \gt 768\]

הדבר הראשון שאתה צריך לשים לב אליו הוא, כמובן, השבר העשרוני בבסיס החזקה הראשונה. יש צורך להיפטר ממנו, ובו זמנית להביא את כל הפונקציות המעריכיות לאותו בסיס - המספר "2":

\[\begin(align) & 0.5=\frac(1)(2)=((2)^(-1))\rightarrow ((\left(0.5 \right))^(-4x- 8))= ((\left(((2)^(-1)) \right))^(-4x-8))=((2)^(4x+8)); \\ & 16=((2)^(4))\חץ ימינה ((16)^(x+1.5))=((\left(((2)^(4)) \right))^( x+ 1.5))=((2)^(4x+6)); \\ & ((2)^(4x+8))-((2)^(4x+6)) \gt 768. \\\end(align)\]

נהדר, עשינו את הצעד הראשון - הכל הוביל לאותו יסוד. כעת עליך לבחור ביטוי יציב. שים לב ש$((2)^(4x+8))=((2)^(4x+6+2))=((2)^(4x+6))\cdot 4$. אם נכניס משתנה חדש $((2)^(4x+6))=t$, ניתן לשכתב את אי השוויון המקורי באופן הבא:

\[\begin(align) & 4t-t \gt 768; \\ & 3t \gt 768; \\ & t \gt 256=((2)^(8)); \\ & ((2)^(4x+6)) \gt ((2)^(8)); \\ & 4x+6 \gt 8; \\ & 4x \gt 2; \\ & x \gt \frac(1)(2)=0.5. \\\end(align)\]

מטבע הדברים, עלולה להתעורר השאלה: איך גילינו ש-256 = 2 8? למרבה הצער, כאן אתה רק צריך לדעת את החזקות של שתיים (ובמקביל את החזקות של שלוש וחמש). ובכן, או לחלק 256 ב-2 (אפשר לחלק, מכיוון ש-256 הוא מספר זוגי) עד שנקבל את התוצאה. זה ייראה בערך כך:

\[\begin(align) & 256=128\cdot 2= \\ & =64\cdot 2\cdot 2= \\ & =32\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =16\cdot 2 \cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =8\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =4\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =((2)^(8)).\end(align )\]

הדבר נכון גם לגבי שלוש (המספרים 9, 27, 81 ו-243 הם המעלות שלו), ועם שבע (גם את המספרים 49 ו-343 יהיה נחמד לזכור). ובכן, לחמישה יש גם תארים "יפים" שאתה צריך לדעת:

\[\begin(align) & ((5)^(2))=25; \\ & ((5)^(3))=125; \\ & ((5)^(4))=625; \\ & ((5)^(5))=3125. \\\end(align)\]

כמובן, אם תרצה, ניתן לשחזר את כל המספרים הללו במחשבתך על ידי הכפלתם ברציפות זה בזה. עם זאת, כאשר אתה צריך לפתור כמה אי שוויון מעריכי, וכל אחד הבא קשה יותר מהקודם, אז הדבר האחרון שאתה רוצה לחשוב עליו הוא חזקות של מספרים מסוימים. ובמובן זה, הבעיות הללו מורכבות יותר מאי-שוויון "קלאסי" שנפתרים בשיטת המרווחים.

אני מקווה ששיעור זה עזר לך להשתלט על נושא זה. אם משהו לא ברור, שאל בתגובות. ולהתראות בשיעורים הבאים. :)

אלגברה ותחילת ניתוח מתמטי. כיתה י'. ספר לימוד. ניקולסקי ש.מ. וכו.

רמות בסיסיות ופרופיל

מהדורה 8. - מ.: חינוך, 2009. - 430 עמ'.

ספר הלימוד תואם את הרכיבים הפדרליים של תקן המדינה לחינוך כללי במתמטיקה ומכיל חומר לרמות בסיסיות ולרמות מיוחדות כאחד. אתה יכול לעבוד עם זה בלי קשר לאילו ספרי לימוד למדו תלמידי בית ספר בשנים קודמות.

ספר הלימוד נועד להכין סטודנטים לכניסה לאוניברסיטאות.

פוּרמָט: djvu

גודל: 15.2 מגה-בייט

צפו, הורידו:drive.google ; Rghost

פוּרמָט: pdf

גודל: 42.3 מגה-בייט

צפו, הורידו:drive.google ; Rghost

הערה:איכות PDF טובה יותר, כמעט מעולה. עשוי מאותה סריקה, 150 dpi, צבע. אבל ב-DJVU זה מתברר קצת יותר גרוע. זה מקרה שבו הגודל קובע.

תוכן העניינים
פרק א. שורשים, כוחות, לוגריתמים
§ 1. מספרים אמיתיים 3
1.1. מושג המספר האמיתי 3
1.2. הרבה מספרים. מאפיינים של מספרים ממשיים. ... 10
1.3*. שיטת אינדוקציה מתמטית 16
1.4. תמורות 22
1.5. מיקומים 25
1.6. שילובים 27
1.7*. הוכחה לאי שוויון מספרי 30
1.8*. חלוקה של מספרים שלמים 35
1.9*. השוואות modulo t 38
1.10*. בעיות עם מספרים שלמים לא ידועים 40
§ 2. משוואות רציונליות ואי-שוויון 44
2.1. ביטויים רציונליים 44
2.2. הנוסחאות הבינומיות של ניוטון, סכומים והפרשי כוחות. . 48
2.3*. חלוקת פולינומים עם שארית. אלגוריתם אוקלידי... 53
2.4*. משפט 57 של בזוט
2.5*. שורש הפולינום 60
2.6. משוואות רציונליות 65
2.7. מערכות משוואות רציונליות 70
2.8. שיטת מרווחים לפתרון אי שוויון 75
2.9. אי שוויון רציונלי 79
2.10. אי שוויון לא קפדני 84
2.11. מערכות של אי-שוויון רציונלי 88
§ 3. שורש תואר n 93
3.1. מושג הפונקציה והגרף שלה 93
3.2. פונקציה y = x" 96
3.3. הרעיון של שורש מדרגה n 100
3.4. שורשים של דרגות זוגיות ואי-זוגיות 102
3.5. שורש אריתמטי 106
3.6. מאפיינים של שורשים בדרגה l 111
3.7*. פונקציה y = nx (x > 0) 114
3.8*. פונקציה y = nVx 117
3.9*. שורש n של המספר הטבעי 119
§ 4. כוחו של המספר החיובי 122
4.1. כוח עם מעריך רציונלי 122
4.2. מאפיינים של תארים עם מעריך רציונלי 125
4.3. הרעיון של מגבלת רצף 131
4.4*. מאפייני הגבלות 134
4.5. התקדמות גיאומטרית פוחתת לאין שיעור. . . 137
4.6. מספר e 140
4.7. המושג תואר עם מעריך לא רציונלי.... 142
4.8. פונקציה מעריכית 144
§ 5. לוגריתמים 148
5.1. מושג הלוגריתם 148
5.2. מאפיינים של לוגריתמים 151
5.3. פונקציה לוגריתמית 155
5.4*. לוגריתמים עשרוניים 157
5.5*. פונקציות כוח 159
§ 6. משוואות ואי-שוויון מעריכי ולוגריתמי. . 164
6.1. המשוואות המעריכיות הפשוטות ביותר 164
6.2. משוואות לוגריתמיות פשוטות 166
6.3. משוואות מוקטנות לפשוטות ביותר על ידי החלפת ה-169 הלא נודע
6.4. אי השוויון האקספוננציאלי הפשוט ביותר 173
6.5. אי השוויון הלוגריתמי הפשוט ביותר 178
6.6. אי השוויון הצטמצם לפשוט ביותר על ידי החלפת 182 הלא נודע
מידע היסטורי 187
פרק ב. נוסחאות טריגונומטריות. פונקציות טריגונומטריות
§ 7. סינוס וקוסינוס של זווית 193
7.1. מושג זווית 193
7.2. מידת רדיאן של זווית 200
7.3. קביעת הסינוס והקוסינוס של זווית 203
7.4. נוסחאות בסיסיות עבור sin a ו-cos a 211
7.5. Arcsine 216
7.6. ארק קוסינוס 221
7.7*. דוגמאות לשימוש בארקסין ובארקוסין... 225
7.8*. נוסחאות עבור arcsine ו- arccosine 231
§ 8. טנגנט וקוטנגנט של זווית 233
8.1. קביעת משיק וקוטנגנט של זווית 233
8.2. נוסחאות בסיסיות עבור tg a ו-ctg a 239
8.3. Arctangent 243
8.4*. קשת טנגנס 246
8.5*. דוגמאות לשימוש ב-arctangent וב-arccotangent. . 249
8.6*. נוסחאות עבור arctangent ו- arccotangent 255
§ 9. נוסחאות הוספה 258
9.1. קוסינוס ההפרש והקוסינוס של סכום שתי זוויות 258
9.2. נוסחאות לזוויות משלימות 262
9.3. סינוס של הסכום והסינוס של ההפרש של שתי זוויות 264
9.4. סכום והפרש של סינוסים וקוסינוסים 266
9.5. נוסחאות לזווית כפולה וחצי 268
9.6*. תוצר של סינוסים וקוסינוסים 273
9.7*. נוסחאות למשיקים 275
§ 10. פונקציות טריגונומטריות של ארגומנט מספרי 280
10.1. פונקציה y = sin x 281
10.2. פונקציה y = cos x 285
10.3. פונקציה y = tg * 288
10.4. פונקציה y = ctg x 292
§ 11. משוואות טריגונומטריות ואי-שוויון 295
11.1. משוואות טריגונומטריות פשוטות 295
11.2. משוואות מצטמצמות לפשוטות ביותר על ידי החלפת 299 הלא נודע
11.3. יישום נוסחאות טריגונומטריות בסיסיות לפתרון משוואות 303
11.4. משוואות הומוגניות 307
11.5*. אי השוויון הפשוטים ביותר עבור סינוס וקוסינוס... 310
11.6*. אי השוויון הפשוט ביותר עבור משיק וקוטנגנט. . . 315
11.7*. אי השוויון מופחת לפשוט ביותר על ידי החלפת ה-319 הלא נודע
11.8*. הקדמה של זווית עזר 322
11.9*. החלפת ה-t הלא ידוע = sin x + cos x 327
מידע היסטורי 330
פרק ג'. אלמנטים של תורת ההסתברות
§ 12. הסתברות לאירוע 333
12.1. מושג הסתברות האירוע 333
12.2. מאפיינים של הסתברויות אירועים 338
§ 13*. תדירות. הסתברות מותנית 342
13.1*. תדירות יחסית של אירוע 342
13.2*. הסתברות מותנית. אירועים עצמאיים 344
§ 14*. ערך צפוי. חוק המספרים הגדולים 348
14.1*. תוחלת מתמטית 348
14.2*. ניסיון קשה 353
14.3*. הנוסחה של ברנולי. חוק המספרים הגדולים 355
מידע היסטורי 359
סקירת משימות 362
אינדקס נושאים 407
תשובות 410