Mnoho lidí si myslí, že exponenciální nerovnosti jsou něco složitého a nepochopitelného. A že naučit se je řešit je téměř velké umění, kterému jsou schopni porozumět jen Vyvolení...
Úplný nesmysl! Exponenciální nerovnosti jsou snadné. A vždy se řeší jednoduše. No, skoro vždycky. :)
Dnes se na toto téma podíváme zevnitř i zvenčí. Tato lekce bude velmi užitečná pro ty, kteří právě začínají rozumět této části školní matematiky. Začněme jednoduchými problémy a přejdeme ke složitějším problémům. Dnes to nebude žádná tvrdá práce, ale to, co si teď přečtete, bude stačit k vyřešení většiny nerovností ve všech druzích testů a samostatné práce. A na této vaší zkoušce také.
Jako vždy začneme definicí. Exponenciální nerovnost je jakákoli nerovnost, která obsahuje exponenciální funkci. Jinými slovy, vždy to může být redukováno na nerovnost tvaru
\[((a)^(x)) \gt b\]
Kde role $b$ může být obyčejné číslo, nebo možná něco tvrdšího. Příklady? Ano prosím:
\[\begin(align) & ((2)^(x)) \gt 4;\quad ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2));\ quad ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01;\quad ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac (4) )(X))). \\\konec (zarovnat)\]
Myslím, že význam je jasný: existuje exponenciální funkce $((a)^(x))$, je s něčím porovnána a pak požádána o nalezení $x$. Ve zvláště klinických případech mohou místo proměnné $x$ vložit nějakou funkci $f\left(x \right)$ a tím nerovnosti trochu zkomplikovat. :)
Samozřejmě, v některých případech se může nerovnost jevit vážnější. Například:
\[((9)^(x))+8 \gt ((3)^(x+2))\]
Nebo dokonce toto:
Obecně platí, že složitost takových nerovností může být velmi odlišná, ale nakonec se stále redukují na jednoduchou konstrukci $((a)^(x)) \gt b$. A na takovou konstrukci nějak přijdeme (zejména v klinických případech, kdy nás nic nenapadá, nám pomohou logaritmy). Proto vás nyní naučíme, jak takové jednoduché stavby řešit.
Řešení jednoduchých exponenciálních nerovnic
Uvažujme o něčem velmi jednoduchém. Například toto:
\[((2)^(x)) \gt 4\]
Je zřejmé, že číslo napravo lze přepsat jako mocninu dvou: $4=((2)^(2))$. Původní nerovnost lze tedy přepsat do velmi pohodlné formy:
\[((2)^(x)) \gt ((2)^(2))\]
A teď mě svrbí ruce, abych „přeškrtl“ dvojky v základech mocnin, abych dostal odpověď $x \gt 2$. Ale než něco přeškrtneme, připomeňme si mocniny dvou:
\[((2)^(1))=2;\quad ((2)^(2))=4;\quad ((2)^(3))=8;\quad ((2)^( 4))=16;...\]
Jak vidíte, čím větší je číslo v exponentu, tím větší je výstupní číslo. "Díky, Cape!" - vykřikne jeden ze studentů. je to jinak? Bohužel se to stává. Například:
\[((\left(\frac(1)(2) \right))^(1))=\frac(1)(2);\quad ((\left(\frac(1)(2) \ right))^(2))=\frac(1)(4);\quad ((\left(\frac(1)(2) \right))^(3))=\frac(1)(8 );...\]
I zde je vše logické: čím větší stupeň, tím vícekrát se číslo 0,5 násobí samo sebou (tedy dělí napůl). Výsledná posloupnost čísel se tedy zmenšuje a rozdíl mezi první a druhou posloupností je pouze v základu:
- Je-li základna stupně $a \gt 1$, pak se vzrůstajícím exponentem $n$ vzroste i číslo $((a)^(n))$;
- A naopak, je-li $0 \lt a \lt 1$, pak s rostoucím exponentem $n$ bude číslo $((a)^(n))$ klesat.
Shrnutím těchto faktů získáme nejdůležitější tvrzení, na kterém je založeno celé řešení exponenciálních nerovnic:
Jestliže $a \gt 1$, pak nerovnost $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ je ekvivalentní nerovnosti $x \gt n$. Pokud $0 \lt a \lt 1$, pak nerovnost $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ je ekvivalentní nerovnosti $x \lt n$.
Jinými slovy, pokud je základna větší než jedna, můžete ji jednoduše odstranit - znaménko nerovnosti se nezmění. A pokud je základna menší než jedna, lze ji také odstranit, ale zároveň budete muset změnit znaménko nerovnosti.
Upozorňujeme, že jsme nezohlednili možnosti $a=1$ a $a\le 0$. Protože v těchto případech vzniká nejistota. Řekněme, jak vyřešit nerovnici ve tvaru $((1)^(x)) \gt 3$? Jedna každé mocnosti opět dá jednu – nikdy nedostaneme tři nebo více. Tito. neexistují žádná řešení.
S negativními důvody je vše ještě zajímavější. Zvažte například tuto nerovnost:
\[((\left(-2 \right))^(x)) \gt 4\]
Na první pohled je vše jednoduché:
Že jo? Ale ne! Stačí místo $x$ dosadit pár sudých a pár lichých čísel, abyste se ujistili, že řešení je nesprávné. Podívej se:
\[\begin(align) & x=4\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(4))=16 \gt 4; \\ & x=5\Šipka doprava ((\left(-2 \right))^(5))=-32 \lt 4; \\ & x=6\Šipka doprava ((\left(-2 \right))^(6))=64 \gt 4; \\ & x=7\Šipka doprava ((\left(-2 \right))^(7))=-128 \lt 4. \\\end(zarovnat)\]
Jak vidíte, znamení se střídají. Ale existují i zlomkové mocniny a další nesmysly. Jak byste například uspořádali výpočet $((\left(-2 \right))^(\sqrt(7)))$ (mínus dvě na mocninu sedmi)? V žádném případě!
Proto pro jednoznačnost předpokládáme, že ve všech exponenciálních nerovnostech (a mimochodem také rovnicích) $1\ne a \gt 0$. A pak je vše vyřešeno velmi jednoduše:
\[((a)^(x)) \gt ((a)^(n))\Šipka doprava \left[ \begin(align) & x \gt n\quad \left(a \gt 1 \right), \\ & x \lt n\quad \left(0 \lt a \lt 1 \right). \\\konec (zarovnat) \vpravo.\]
Obecně si ještě jednou zapamatujte hlavní pravidlo: pokud je základ v exponenciální rovnici větší než jedna, můžete jej jednoduše odstranit; a pokud je základna menší než jedna, lze ji také odstranit, ale změní se znaménko nerovnosti.
Příklady řešení
Podívejme se tedy na několik jednoduchých exponenciálních nerovností:
\[\begin(align) & ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01; \\ & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25). \\\konec (zarovnat)\]
Primární úkol je ve všech případech stejný: snížit nerovnosti na nejjednodušší tvar $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$. Přesně to nyní uděláme s každou nerovností a zároveň si zopakujeme vlastnosti stupňů a exponenciálních funkcí. Tak pojďme!
\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\]
Co zde můžete dělat? No a nalevo už máme orientační výraz - není třeba nic měnit. Ale napravo je nějaké svinstvo: zlomek a dokonce i odmocnina ve jmenovateli!
Připomeňme si však pravidla pro práci se zlomky a mocninami:
\[\begin(align) & \frac(1)(((a)^(n)))=((a)^(-n)); \\ & \sqrt[k](a)=((a)^(\frac(1)(k))). \\\konec (zarovnat)\]
Co to znamená? Za prvé, zlomku se můžeme snadno zbavit tím, že jej převedeme na mocninu se záporným exponentem. A za druhé, protože jmenovatel má odmocninu, bylo by hezké jej převést na mocninu – tentokrát s desetinným exponentem.
Aplikujme tyto akce postupně na pravou stranu nerovnosti a uvidíme, co se stane:
\[\frac(1)(\sqrt(2))=((\left(\sqrt(2) \right))^(-1))=((\left(((2)^(\frac) 1)(3))) \vpravo))^(-1))=((2)^(\frac(1)(3)\cdot \left(-1 \vpravo)))=((2)^ (-\frac(1)(3)))\]
Nezapomeňte, že při zvýšení stupně na mocninu se exponenty těchto stupňů sčítají. A vůbec, při práci s exponenciálními rovnicemi a nerovnicemi je bezpodmínečně nutné znát alespoň ta nejjednodušší pravidla pro práci s mocninami:
\[\begin(align) & ((a)^(x))\cdot ((a)^(y))=((a)^(x+y)); \\ & \frac(((a)^(x)))(((a)^(y)))=((a)^(x-y)); \\ & ((\left(((a)^(x)) \right))^(y))=((a)^(x\cdot y)). \\\konec (zarovnat)\]
Ve skutečnosti jsme právě použili poslední pravidlo. Proto bude naše původní nerovnost přepsána takto:
\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\Šipka doprava ((2)^(x-1))\le ((2)^(-\ frac(1)(3)))\]
Teď se zbavíme těch dvou na základně. Protože 2 > 1, znaménko nerovnosti zůstane stejné:
\[\begin(align) & x-1\le -\frac(1)(3)\Šipka doprava x\le 1-\frac(1)(3)=\frac(2)(3); \\ & x\in \left(-\infty ;\frac(2)(3) \right]. \\\end(align)\]
To je řešení! Hlavní problém není vůbec v exponenciální funkci, ale v kompetentní transformaci původního výrazu: musíte jej pečlivě a rychle uvést do jeho nejjednodušší podoby.
Zvažte druhou nerovnost:
\[((0.1)^(1-x)) \lt 0.01\]
Tak a tak. Čekají nás zde desetinné zlomky. Jak jsem již mnohokrát řekl, v jakýchkoli výrazech s mocninami byste se měli zbavit desetinných míst - často je to jediný způsob, jak vidět rychlé a jednoduché řešení. Zde se zbavíme:
\[\begin(align) & 0.1=\frac(1)(10);\quad 0.01=\frac(1)(100)=((\left(\frac(1)(10) \ right))^ (2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\Šipka doprava ((\left(\frac(1)(10) \right))^(1-x)) \lt ( (\left(\frac(1)(10) \right))^(2)). \\\konec (zarovnat)\]
Opět zde máme nejjednodušší nerovnost a i se základem 1/10, tzn. méně než jeden. No, odstraníme základy a současně změníme znaménko z „méně“ na „více“ a dostaneme:
\[\begin(align) & 1-x \gt 2; \\ & -x \gt 2-1; \\ & -x \gt 1; \\& x \lt -1. \\\konec (zarovnat)\]
Dostali jsme konečnou odpověď: $x\in \left(-\infty ;-1 \right)$. Poznámka: odpověď je přesně množina a v žádném případě konstrukce ve tvaru $x \lt -1$. Protože formálně taková konstrukce vůbec není množina, ale nerovnost vzhledem k proměnné $x$. Ano, je to velmi jednoduché, ale není to odpověď!
Důležitá poznámka. Tato nerovnost by se dala vyřešit i jinak – zmenšením obou stran na mocninu se základnou větší než jedna. Podívej se:
\[\frac(1)(10)=((10)^(-1))\Rightarrow ((\left(((10)^(-1)) \right))^(1-x)) \ lt ((\left(((10)^(-1)) \right))^(2))\Rightarrow ((10)^(-1\cdot \left(1-x \right))) \lt ((10)^(-1\cdot 2))\]
Po takové transformaci opět získáme exponenciální nerovnost, ale se základem 10 > 1. To znamená, že můžeme desítku jednoduše odškrtnout - znaménko nerovnosti se nezmění. Dostaneme:
\[\begin(align) & -1\cdot \left(1-x \right) \lt -1\cdot 2; \\ & x-1 \lt -2; \\ & x \lt -2+1=-1; \\ & x \lt -1. \\\konec (zarovnat)\]
Jak vidíte, odpověď byla úplně stejná. Zároveň jsme se ušetřili nutnosti měnit ceduli a obecně pamatovat na jakákoli pravidla. :)
\[((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16\]
Nenechte se tím však vyděsit. Bez ohledu na to, co je v indikátorech, samotná technologie pro řešení nerovnosti zůstává stejná. Nejprve si tedy všimněme, že 16 = 2 4. Přepišme původní nerovnost s ohledem na tuto skutečnost:
\[\begin(align) & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt ((2)^(4)); \\ & ((x)^(2))-7x+14 \lt 4; \\ & ((x)^(2))-7x+10 \lt 0. \\\end(align)\]
Hurá! Máme obvyklou kvadratickou nerovnost! Znak se nikde nezměnil, protože základ je dva - číslo větší než jedna.
Nuly funkce na číselné ose
Uspořádáme znaménka funkce $f\left(x \right)=((x)^(2))-7x+10$ - samozřejmě, že její graf bude parabola s větvemi nahoru, takže tam budou „plusy " na stranách. Zajímá nás oblast, kde je funkce menší než nula, tzn. $x\in \left(2;5 \right)$ je odpověď na původní problém.
Nakonec zvažte další nerovnost:
\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\]
Opět vidíme exponenciální funkci s desetinným zlomkem na základně. Převedeme tento zlomek na společný zlomek:
\[\begin(align) & 0.2=\frac(2)(10)=\frac(1)(5)=((5)^(-1))\Rightarrow \\ & \Rightarrow ((0 ,2) )^(1+((x)^(2)))=((\left(((5)^(-1)) \right))^(1+((x)^(2) )) )=((5)^(-1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)))\end(align)\]
V tomto případě jsme použili poznámku uvedenou dříve - základ jsme zredukovali na číslo 5 > 1, abychom si zjednodušili další řešení. Udělejme totéž s pravou stranou:
\[\frac(1)(25)=((\left(\frac(1)(5) \right))^(2))=((\left(((5)^(-1)) \ vpravo))^(2))=((5)^(-1\cdot 2))=((5)^(-2))\]
Přepišme původní nerovnost s ohledem na obě transformace:
\[((0,2)^(1+((x)^(2)))\ge \frac(1)(25)\Šipka doprava ((5)^(-1\cdot \left(1+) ((x)^(2)) \vpravo)))\ge ((5)^(-2))\]
Základny na obou stranách jsou stejné a přesahují jednu. Napravo a nalevo nejsou žádné další výrazy, takže jednoduše „přeškrtneme“ pětky a získáme velmi jednoduchý výraz:
\[\begin(align) & -1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)\ge -2; \\ & -1-((x)^(2))\ge -2; \\ & -((x)^(2))\ge -2+1; \\ & -((x)^(2))\ge -1;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))\le 1. \\\end(zarovnat)\]
Zde je třeba být opatrnější. Mnoho studentů chce jednoduše vzít druhou odmocninu obou stran nerovnosti a napsat něco jako $x\le 1\Šipka doprava x\in \left(-\infty ;-1 \right]$. Za žádných okolností by se to nemělo dělat , protože kořen přesného čtverce je modul a v žádném případě původní proměnná:
\[\sqrt(((x)^(2)))=\left| x\vpravo|\]
Práce s moduly však není nejpříjemnější zážitek, že? Takže nebudeme pracovat. Místo toho jednoduše přesuneme všechny členy doleva a vyřešíme obvyklou nerovnost pomocí intervalové metody:
$\begin(align) & ((x)^(2))-1\le 0; \\ & \left(x-1 \right)\left(x+1 \right)\le 0 \\ & ((x)_(1))=1;\quad ((x)_(2)) =-1; \\\end(zarovnat)$
Získané body opět označíme na číselné ose a podíváme se na znaménka:
Upozornění: tečky jsou stínované Protože jsme řešili nepřísnou nerovnici, všechny body v grafu jsou stínované. Odpověď tedy bude: $x\in \left[ -1;1 \right]$ není interval, ale segment.
Obecně bych rád poznamenal, že na exponenciálních nerovnostech není nic složitého. Význam všech transformací, které jsme dnes provedli, spočívá v jednoduchém algoritmu:
- Najděte základ, na který snížíme všechny stupně;
- Opatrně proveďte transformace, abyste získali nerovnost ve tvaru $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$. Samozřejmě místo proměnných $x$ a $n$ mohou být mnohem složitější funkce, ale význam se nezmění;
- Přeškrtněte základy stupňů. V tomto případě se znaménko nerovnosti může změnit, pokud je základ $a \lt 1$.
Ve skutečnosti se jedná o univerzální algoritmus pro řešení všech takových nerovností. A vše ostatní, co vám na toto téma řeknou, jsou jen konkrétní techniky a triky, které proměnu zjednoduší a urychlí. O jedné z těchto technik si nyní povíme. :)
Racionalizační metoda
Podívejme se na další sadu nerovností:
\[\begin(align) & ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi \!\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1; \\ & ((\left(\frac(1)(3) \right))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \right))^(16-x)); \\ & ((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1. \\\end(align)\]
Co je na nich tedy zvláštního? Jsou lehké. I když, přestaň! Je číslo π umocněno? Jaký nesmysl?
Jak zvýšit číslo $2\sqrt(3)-3$ na mocninu? Nebo $3-2\sqrt(2)$? Autoři problémů evidentně vypili příliš mnoho hlohu, než se posadili do práce. :)
Ve skutečnosti na těchto úkolech není nic děsivého. Dovolte mi připomenout: exponenciální funkce je výraz ve tvaru $((a)^(x))$, kde základ $a$ je libovolné kladné číslo kromě jedničky. Číslo π je kladné – to už víme. Čísla $2\sqrt(3)-3$ a $3-2\sqrt(2)$ jsou také kladná – to lze snadno zjistit, když je porovnáte s nulou.
Ukazuje se, že všechny tyto „děsivé“ nerovnosti jsou vyřešeny nijak neliší od jednoduchých výše uvedených? A řeší se stejně? Ano, to je naprosto správné. Na jejich příkladu bych se však rád zamyslel nad jednou technikou, která výrazně šetří čas na samostatnou práci a zkoušky. Budeme mluvit o metodě racionalizace. Takže pozor:
Jakákoli exponenciální nerovnost ve tvaru $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ je ekvivalentní nerovnosti $\left(x-n \right)\cdot \left(a-1 \ vpravo) \gt 0 $.
To je celá metoda :) Mysleli jste, že by existovala nějaká další hra? Nic takového! Tento jednoduchý fakt, napsaný doslova na jednom řádku, nám ale značně zjednoduší práci. Podívej se:
\[\begin(matrix) ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi\ !\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)) \\ \Downarrow \\ \left(x+7-\left(((x)^(2)) -3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right) \gt 0 \\\end(matice)\]
Takže už neexistují žádné exponenciální funkce! A nemusíte si pamatovat, zda se znak změní nebo ne. Vyvstává ale nový problém: co dělat s tou zatracenou násobilkou \[\left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right)\]? Nevíme, jaká je přesná hodnota čísla π. Zdá se však, že kapitán naznačuje zřejmé:
\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )\cca 3,14... \gt 3\Šipka doprava \text()\!\!\pi\!\!\text( )- 1\gt 3-1=2\]
Obecně se nás přesná hodnota π ve skutečnosti netýká - je pro nás důležité pouze pochopit, že v každém případě $\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \gt 2 $, t .e. toto je kladná konstanta a můžeme jí vydělit obě strany nerovnosti:
\[\begin(align) & \left(x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text( )\!\! \pi\!\!\text( )-1 \right) \gt 0 \\ & x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \gt 0; \\ & x+7-((x)^(2))+3x-2 \gt 0; \\ & -((x)^(2))+4x+5 \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))-4x-5 \lt 0; \\ & \left(x-5 \right)\left(x+1 \right) \lt 0. \\\end(zarovnat)\]
Jak vidíte, v určité chvíli jsme museli dělit mínus jedna – a znaménko nerovnosti se změnilo. Na konci jsem kvadratický trinom rozšířil pomocí Vietovy věty - je zřejmé, že kořeny se rovnají $((x)_(1))=5$ a $((x)_(2))=-1$ . Pak se vše řeší klasickou intervalovou metodou:
Řešení nerovnice intervalovou metodou Všechny body jsou odstraněny, protože původní nerovnost je přísná. Zajímá nás oblast se zápornými hodnotami, takže odpověď je $x\in \left(-1;5 \right)$. To je řešení. :)
Pojďme k dalšímu úkolu:
\[((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1\]
Vše je zde obecně jednoduché, protože vpravo je jednotka. A pamatujeme si, že jednička je jakékoli číslo umocněné na nulu. I když je toto číslo iracionálním výrazem na základně vlevo:
\[\begin(align) & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1=((\left(2) \sqrt(3)-3 \right))^(0)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(0)); \\\konec (zarovnat)\]
No, pojďme si to racionalizovat:
\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-3-1 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-4 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0. \\\end(align)\ ]
Zbývá jen přijít na znamení. Faktor $2\left(\sqrt(3)-2 \right)$ neobsahuje proměnnou $x$ - je to jen konstanta a my potřebujeme zjistit její znaménko. Chcete-li to provést, poznamenejte si následující:
\[\begin(matice) \sqrt(3) \lt \sqrt(4)=2 \\ \Downarrow \\ 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 2\cdot \left(2 -2 \vpravo)=0 \\\konec (matice)\]
Ukazuje se, že druhý faktor není jen konstanta, ale záporná konstanta! A při jejím dělení se znaménko původní nerovnosti změní na opak:
\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0; \\ & ((x)^(2))-2x-0 \gt 0; \\ & x\left(x-2 \right) \gt 0. \\\end(align)\]
Nyní je vše zcela zřejmé. Kořeny čtvercového trinomu vpravo jsou: $((x)_(1))=0$ a $((x)_(2))=2$. Označíme je na číselné ose a podíváme se na znaménka funkce $f\left(x \right)=x\left(x-2 \right)$:
Případ, kdy nás zajímají boční intervaly Zajímají nás intervaly označené znaménkem plus. Zbývá jen napsat odpověď:
Pojďme k dalšímu příkladu:
\[((\left(\frac(1)(3) \right))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \ vpravo))^(16-x)))\]
Zde je vše zcela zřejmé: báze obsahují mocniny stejného čísla. Proto vše stručně napíšu:
\[\begin(matice) \frac(1)(3)=((3)^(-1));\quad \frac(1)(9)=\frac(1)(((3)^( 2)))=((3)^(-2)) \\ \Downarrow \\ ((\left(((3)^(-1)) \vpravo))^((x)^(2) )+2x)) \gt ((\left(((3)^(-2)) \right))^(16-x)) \\\end(matice)\]
\[\begin(align) & ((3)^(-1\cdot \left(((x)^(2))+2x \right))) \gt ((3)^(-2\cdot \ vlevo(16-x \vpravo))); \\ & ((3)^(-((x)^(2))-2x)) \gt ((3)^(-32+2x)); \\ & \left(-((x)^(2))-2x-\left(-32+2x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right) \gt 0; \\ & -((x)^(2))-2x+32-2x \gt 0; \\ & -((x)^(2))-4x+32 \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))+4x-32 \lt 0; \\ & \left(x+8 \right)\left(x-4 \right) \lt 0. \\\end(zarovnat)\]
Jak vidíte, během procesu transformace jsme museli násobit záporným číslem, takže se změnilo znaménko nerovnosti. Na úplný závěr jsem opět aplikoval Vietovu větu k faktoru kvadratického trinomu. Ve výsledku bude odpověď následující: $x\in \left(-8;4 \right)$ - každý si to může ověřit nakreslením číselné osy, označením bodů a spočtením znamének. Mezitím přejdeme k poslední nerovnosti z naší „množiny“:
\[((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1\]
Jak vidíte, na základně je opět iracionální číslo a napravo je opět jednotka. Proto naši exponenciální nerovnost přepíšeme takto:
\[((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt ((\left(3-2\sqrt(2)) \ vpravo))^(0))\]
Aplikujeme racionalizaci:
\[\begin(align) & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(3-2\sqrt(2)-1 \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(2-2\sqrt(2) \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0. \\\end(align)\ ]
Je však zcela zřejmé, že $1-\sqrt(2) \lt 0$, protože $\sqrt(2)\cca 1,4... \gt 1$. Proto je druhým faktorem opět záporná konstanta, kterou lze obě strany nerovnosti vydělit:
\[\začátek(matice) \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0 \\ \Downarrow \ \\konec(matice)\]
\[\begin(align) & 3x-((x)^(2))-0 \gt 0; \\ & 3x-((x)^(2)) \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))-3x \lt 0; \\ & x\left(x-3 \right) \lt 0. \\\end(zarovnat)\]
Přesuňte se na jinou základnu
Samostatným problémem při řešení exponenciálních nerovností je hledání „správného“ základu. Bohužel ne vždy je na první pohled na úkol zřejmé, co si vzít za základ a co dělat podle stupně tohoto základu.
Ale nebojte se: neexistuje zde žádná magie ani „tajná“ technologie. V matematice lze jakoukoli dovednost, kterou nelze algoritmizovat, snadno rozvíjet praxí. K tomu však budete muset vyřešit problémy různé úrovně složitosti. Například takto:
\[\begin(align) & ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x))); \\ & ((\left(\frac(1)(3) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & ((\left(0,16 \right))^(1+2x))\cdot ((\left(6,25 \right))^(x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \right))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81. \\\ konec(zarovnat)\]
Obtížný? děsivé? Je to jednodušší než trefit kuře na asfaltu! Zkusme to. První nerovnost:
\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x)))\]
No, myslím, že zde je vše jasné:
Přepíšeme původní nerovnost a vše zredukujeme na základ dvě:
\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((2)^(\frac(8)(x)))\Šipka doprava \left(\frac(x)(2)- \frac(8)(x) \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0\]
Ano, ano, slyšeli jste správně: právě jsem použil výše popsanou racionalizační metodu. Nyní musíme pracovat opatrně: máme zlomkovou racionální nerovnost (to je ta, která má ve jmenovateli proměnnou), takže než cokoliv přirovnáme k nule, musíme vše uvést do společného jmenovatele a zbavit se konstantního faktoru. .
\[\begin(align) & \left(\frac(x)(2)-\frac(8)(x) \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0; \\ & \left(\frac(((x)^(2))-16)(2x) \right)\cdot 1 \lt 0; \\ & \frac(((x)^(2))-16)(2x) \lt 0. \\\end(align)\]
Nyní použijeme standardní intervalovou metodu. Nuly v čitateli: $x=\pm 4$. Jmenovatel jde na nulu pouze tehdy, když $x=0$. Na číselné ose jsou celkem tři body, které je potřeba označit (všechny body jsou vypíchnuté, protože znaménko nerovnosti je přísné). Dostaneme:
Složitější případ: tři kořeny Jak asi tušíte, stínování označuje intervaly, ve kterých výraz nalevo nabývá záporných hodnot. Proto bude konečná odpověď obsahovat dva intervaly najednou:
Konce intervalů nejsou v odpovědi zahrnuty, protože původní nerovnost byla přísná. Žádné další ověřování této odpovědi není nutné. V tomto ohledu jsou exponenciální nerovnosti mnohem jednodušší než logaritmické: žádné ODZ, žádná omezení atd.
Pojďme k dalšímu úkolu:
\[((\left(\frac(1)(3) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x))\]
Ani zde nejsou žádné problémy, protože již víme, že $\frac(1)(3)=((3)^(-1))$, takže celá nerovnost může být přepsána následovně:
\[\begin(align) & ((\left(((3)^(-1)) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x ))\Šipka doprava ((3)^(-\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & \left(-\frac(3)(x)-\left(2+x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right)\ge 0; \\ & \left(-\frac(3)(x)-2-x \right)\cdot 2\ge 0;\quad \left| :\left(-2 \vpravo) \vpravo. \\ & \frac(3)(x)+2+x\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))+2x+3)(x)\le 0. \\\end(align)\]
Pozor: ve třetím řádku jsem se rozhodl neztrácet čas maličkostmi a rovnou vše vydělit (−2). Minul šel do první závorky (nyní jsou plusy všude) a dvě byly sníženy s konstantním faktorem. To je přesně to, co byste měli udělat při přípravě skutečných výpočtů pro nezávislou a testovací práci - nemusíte přímo popisovat každou akci a transformaci.
Dále přichází na řadu známá metoda intervalů. Čitatel nuly: ale žádné nejsou. Protože diskriminant bude negativní. Jmenovatel se zase resetuje pouze na $x=0$ – stejně jako minule. Je jasné, že napravo od $x=0$ bude mít zlomek kladné hodnoty a nalevo záporné. Protože nás zajímají záporné hodnoty, konečná odpověď je: $x\in \left(-\infty ;0 \right)$.
\[((\left(0.16 \right))^(1+2x))\cdot ((\left(6.25 \right))^(x))\ge 1\]
Co byste měli dělat s desetinnými zlomky v exponenciálních nerovnostech? Správně: zbavte se jich a přeměňte je na obyčejné. Zde budeme překládat:
\[\begin(align) & 0.16=\frac(16)(100)=\frac(4)(25)\Šipka doprava ((\left(0.16 \right))^(1+2x)) =((\ left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x)); \\ & 6.25=\frac(625)(100)=\frac(25)(4)\Rightarrow ((\left(6.25 \right))^(x))=((\left(\ frac(25)) (4)\vpravo))^(x)). \\\konec (zarovnat)\]
Co jsme tedy získali v základech exponenciálních funkcí? A dostali jsme dvě vzájemně inverzní čísla:
\[\frac(25)(4)=((\left(\frac(4)(25) \right))^(-1))\Šipka doprava ((\left(\frac(25)(4) \ vpravo))^(x))=((\left(((\left(\frac(4)(25) \right))^(-1)) \vpravo))^(x))=((\ left(\frac(4)(25) \right))^(-x))\]
Původní nerovnost lze tedy přepsat takto:
\[\begin(align) & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x))\cdot ((\left(\frac(4)(25) \right) )^(-x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x+\left(-x \right)))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0)); \\ & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0) ). \\\konec (zarovnat)\]
Samozřejmě, že při násobení mocnin se stejným základem se jejich exponenty sčítají, což se stalo v druhém řádku. Navíc jsme reprezentovali jednotku vpravo, také jako sílu v základu 4/25. Zbývá jen racionalizovat:
\[((\left(\frac(4)(25) \right))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0)) \Rightarrow \left(x+1-0 \right)\cdot \left(\frac(4)(25)-1 \right)\ge 0\]
Všimněte si, že $\frac(4)(25)-1=\frac(4-25)(25) \lt 0$, tzn. druhý faktor je záporná konstanta a při jejím dělení se znaménko nerovnosti změní:
\[\begin(zarovnat) & x+1-0\le 0\Šipka doprava x\le -1; \\ & x\in \left(-\infty ;-1 \right]. \\\end(align)\]
Konečně poslední nerovnost z aktuální „množiny“:
\[((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \right))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81\]
V zásadě je myšlenka řešení zde také jasná: všechny exponenciální funkce zahrnuté v nerovnosti musí být redukovány na základ „3“. Ale k tomu si budete muset trochu pohrát s kořeny a pravomocemi:
\[\begin(align) & \frac(27)(\sqrt(3))=\frac(((3)^(3)))(((3)^(\frac(1)(3)) ))=((3)^(3-\frac(1)(3)))=((3)^(\frac(8)(3))); \\ & 9=((3)^(2));\quad 81=((3)^(4)). \\\konec (zarovnat)\]
S přihlédnutím k těmto skutečnostem lze původní nerovnost přepsat takto:
\[\begin(align) & ((\left(((3)^(\frac(8)(3))) \right))^(-x)) \lt ((\left(((3)) ^(2))\vpravo))^(4-2x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x+4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(4-4x)). \\\konec (zarovnat)\]
Věnujte pozornost 2. a 3. řádku výpočtů: než s nerovností něco uděláte, nezapomeňte ji uvést do tvaru, o kterém jsme mluvili od samého začátku lekce: $((a)^(x)) \ lt ((a)^(n))$. Pokud máte vlevo nebo vpravo nějaké levotočivé faktory, další konstanty atd., nelze provést racionalizaci nebo „přeškrtnutí“ důvodů! Nespočet úkolů bylo dokončeno nesprávně kvůli nepochopení tohoto jednoduchého faktu. Sám tento problém neustále pozoruji u svých studentů, když právě začínáme analyzovat exponenciální a logaritmické nerovnosti.
Ale vraťme se k našemu úkolu. Zkusme se tentokrát obejít bez racionalizace. Připomeňme si: základ stupně je větší než jedna, takže trojky lze jednoduše přeškrtnout - znaménko nerovnosti se nezmění. Dostaneme:
\[\begin(align) & -\frac(8x)(3) \lt 4-4x; \\ & 4x-\frac(8x)(3) \lt 4; \\ & \frac(4x)(3) \lt 4; \\ & 4x \lt 12; \\ & x \lt 3. \\\end(zarovnat)\]
To je vše. Konečná odpověď: $x\in \left(-\infty ;3 \right)$.
Izolace stabilního výrazu a nahrazení proměnné
Na závěr navrhuji vyřešit ještě čtyři exponenciální nerovnice, které jsou již pro nepřipravené studenty značně obtížné. Abyste se s nimi vyrovnali, musíte si pamatovat pravidla pro práci s tituly. Zejména uvedení společných faktorů ze závorek.
Ale nejdůležitější je naučit se rozumět tomu, co přesně lze ze závorek vyjmout. Takový výraz se nazývá stabilní – lze jej označit novou proměnnou a zbavit se tak exponenciální funkce. Pojďme se tedy podívat na úkoly:
\[\begin(align) & ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6; \\ & ((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90; \\ & ((25)^(x+1,5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500; \\ & ((\left(0,5 \right))^(-4x-8))-((16)^(x+1,5)) \gt 768. \\\end(align)\]
Začněme úplně od prvního řádku. Zapišme tuto nerovnost samostatně:
\[((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6\]
Všimněte si, že $((5)^(x+2))=((5)^(x+1+1))=((5)^(x+1))\cdot 5$, takže pravá ruka stranu lze přepsat:
Všimněte si, že v nerovnosti nejsou žádné další exponenciální funkce kromě $((5)^(x+1))$. A obecně platí, že proměnná $x$ se nikde jinde nevyskytuje, takže zaveďme novou proměnnou: $((5)^(x+1))=t$. Získáme následující konstrukci:
\[\begin(align) & 5t+t\ge 6; \\&6t\ge 6; \\ & t\ge 1. \\\end(zarovnat)\]
Vrátíme se k původní proměnné ($t=((5)^(x+1))$), a zároveň si pamatujeme, že 1=5 0 . My máme:
\[\begin(align) & ((5)^(x+1))\ge ((5)^(0)); \\ & x+1\ge 0; \\ & x\ge -1. \\\konec (zarovnat)\]
To je řešení! Odpověď: $x\in \left[ -1;+\infty \right)$. Pojďme k druhé nerovnosti:
\[((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90\]
Všechno je tu stejné. Všimněte si, že $((3)^(x+2))=((3)^(x))\cdot ((3)^(2))=9\cdot ((3)^(x))$ . Poté lze levou stranu přepsat:
\[\begin(align) & ((3)^(x))+9\cdot ((3)^(x))\ge 90;\quad \left| ((3)^(x))=t \vpravo. \\&t+9t\ge 90; \\ & 10t\ge 90; \\ & t\ge 9\Šipka doprava ((3)^(x))\ge 9\Šipka doprava ((3)^(x))\ge ((3)^(2)); \\ & x\ge 2\Šipka doprava x\v \left[ 2;+\infty \vpravo). \\\konec (zarovnat)\]
Přibližně takto potřebujete sestavit řešení pro skutečné testy a samostatnou práci.
No, zkusíme něco složitějšího. Zde je například nerovnost:
\[((25)^(x+1,5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500\]
Co je tady za problém? Za prvé, základy exponenciálních funkcí vlevo jsou různé: 5 a 25. Nicméně 25 = 5 2, takže první člen lze transformovat:
\[\begin(align) & ((25)^(x+1.5))=((\left(((5)^(2)) \right))^(x+1.5))= ((5) ^(2x+3)); \\ & ((5)^(2x+3))=((5)^(2x+2+1))=((5)^(2x+2))\cdot 5. \\\end(zarovnat )\]
Jak vidíte, nejprve jsme vše přivedli na stejný základ a pak jsme si všimli, že první člen lze snadno zredukovat na druhý - stačí rozšířit exponent. Nyní můžete bezpečně zavést novou proměnnou: $((5)^(2x+2))=t$ a celá nerovnost bude přepsána následovně:
\[\begin(align) & 5t-t\ge 2500; \\&4t\ge 2500; \\ & t\ge 625=((5)^(4)); \\ & ((5)^(2x+2))\ge ((5)^(4)); \\ & 2x+2\ge 4; \\&2x\ge 2; \\ & x\ge 1. \\\end(zarovnat)\]
A opět žádné potíže! Konečná odpověď: $x\in \left[ 1;+\infty \right)$. Přejděme ke konečné nerovnosti v dnešní lekci:
\[((\left(0.5 \right))^(-4x-8))-((16)^(x+1.5)) \gt 768\]
První věc, kterou byste měli věnovat pozornost, je samozřejmě desetinný zlomek v základu první mocniny. Je nutné se toho zbavit a zároveň přivést všechny exponenciální funkce na stejnou základnu - číslo „2“:
\[\begin(align) & 0.5=\frac(1)(2)=((2)^(-1))\Rightarrow ((\left(0.5 \right))^(-4x- 8))= ((\left(((2)^(-1)) \right))^(-4x-8))=((2)^(4x+8)); \\ & 16=((2)^(4))\Šipka doprava ((16)^(x+1,5))=((\left(((2)^(4)) \right))^( x+ 1,5))=((2)^(4x+6)); \\ & ((2)^(4x+8))-((2)^(4x+6)) \gt 768. \\\end(align)\]
Skvělé, udělali jsme první krok – vše vedlo ke stejnému základu. Nyní musíte vybrat stabilní výraz. Všimněte si, že $((2)^(4x+8))=((2)^(4x+6+2))=((2)^(4x+6))\cdot 4$. Pokud zavedeme novou proměnnou $((2)^(4x+6))=t$, pak lze původní nerovnost přepsat takto:
\[\begin(align) & 4t-t \gt 768; \\ & 3t \gt 768; \\ & t \gt 256=((2)^(8)); \\ & ((2)^(4x+6)) \gt ((2)^(8)); \\ & 4x+6 \gt 8; \\ & 4x \gt 2; \\ & x \gt \frac(1)(2)=0,5. \\\konec (zarovnat)\]
Přirozeně může vyvstat otázka: jak jsme zjistili, že 256 = 2 8? Bohužel zde stačí znát mocniny dvojky (a zároveň i mocniny trojky a pětky). No, nebo rozdělte 256 2 (můžete dělit, protože 256 je sudé číslo), dokud nedostaneme výsledek. Bude to vypadat nějak takto:
\[\begin(align) & 256=128\cdot 2= \\ & =64\cdot 2\cdot 2= \\ & =32\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =16\cdot 2 \cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =8\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =4\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =((2)^(8)).\end(align )\]
Totéž platí se třemi (čísla 9, 27, 81 a 243 jsou jeho stupně) a se sedmi (čísla 49 a 343 by bylo také hezké si zapamatovat). Pětka má také „krásné“ stupně, které potřebujete vědět:
\[\begin(align) & ((5)^(2))=25; \\ & ((5)^(3))=125; \\ & ((5)^(4))=625; \\ & ((5)^(5))=3125. \\\konec (zarovnat)\]
Samozřejmě, pokud si přejete, všechna tato čísla mohou být obnovena ve vaší mysli tím, že je jednoduše postupně vynásobíte. Když však musíte vyřešit několik exponenciálních nerovností a každá další je obtížnější než ta předchozí, pak to poslední, na co byste chtěli myslet, jsou mocniny některých čísel. A v tomto smyslu jsou tyto problémy složitější než „klasické“ nerovnice, které se řeší intervalovou metodou.
Doufám, že vám tato lekce pomohla při zvládnutí tohoto tématu. Pokud je něco nejasné, zeptejte se v komentářích. A uvidíme se na dalších lekcích. :)
Téma 6. Exponenciální a logaritmické rovnice a nerovnice (11 hodin)
Téma lekce. Nerovnosti zmenšené na nejjednodušší nahrazením neznámého.
Účel lekce: Rozvinout dovednosti při řešení exponenciálních a logaritmických nerovností jejich redukováním na nejjednodušší, nahrazením neznámého.
úkoly:
Vzdělávací: zopakovat a upevnit znalosti na téma „řešení nejjednodušších exponenciálních a logaritmických nerovnic“, naučit se řešit logaritmické a exponenciální nerovnice substituční metodou.
Vývojové: rozvíjet schopnost žáka identifikovat dva typy nerovností a určovat způsoby jejich řešení (logické a intuitivní myšlení, zdůvodňování úsudků, klasifikace, srovnávání), rozvíjet dovednosti sebeovládání a sebetestování, schopnost pohybu podle daného algoritmu vyhodnotit a opravit získaný výsledek.
Vzdělávací: nadále rozvíjet takové vlastnosti studentů, jako jsou: schopnost naslouchat si; schopnost uplatňovat vzájemnou kontrolu a sebeúctu.
Typ lekce: kombinovaná.
Učebnice Algebra ročník 10 S.M. Nikolsky, M.K. Potapov, N.N. Rešetnikov, A.V. Shevkin
Během vyučování
Organizace času.
Kontrola domácích úkolů.
Aktualizace základních znalostí.
Čelní:
1. Jaké nerovnosti se nazývají nejjednodušší exponenciální nerovnosti?
2. Vysvětlete význam řešení jednoduchých exponenciálních nerovnic.
3. Které nerovnosti se nazývají nejjednodušší logaritmické nerovnosti?
4. Vysvětlete význam řešení jednoduchých logaritmických nerovnic.
S psaním na tabuli (každý 1 student):
Řešit nerovnosti
2x<1160,3х<103log2x>5log15x>-2Vysvětlení nového materiálu a jeho postupné zpevňování.
1.1. Vysvětlení nového materiálu.
1. Vyřešte nerovnici:
2x2-3x<14Пусть х2-3х=t, тогда
2t<142t<2-2т. к. основание 2>1, tedy
t<-2Обратная замена:
x2-3x<-2х2-3х+2<0Нахдим его корни: x1=1, x2=2Отмечаем эти точки на координатной прямой и выясняем знак выражения x2−3x+2 на каждом из полученных интервалов.
Zajímá nás znak "−−". Pak dostaneme
Odpověď: x∈(1;2)
2. Vyřešte nerovnici
1.2. Konsolidace krok za krokem.
č. 6,49(a, c).
Č. 6,52(d).
a) 74x2-9x+6>74x2-9x+6>14x2-9x+5>0x1=5/4 x2=1
Odpověď: -∞;1∪54;+∞в) (13)5х2-4х-3>95х2-4х-3<-25х2-4х-1<0x1=-15 x2=1
Odpověď: -15;1d) log5x2-2x-3<1
log5x2-2x-3
Odpověď: -2;-1∪3;42,1. Vysvětlení nového materiálu.
3. Vyřešte nerovnici
Pak 1 nerovnost dává smysl pro všechna x a druhá
2.2. Konsolidace krok za krokem.
Vyřešte nerovnost č. 6,56(c)
3.1. Vysvětlení nového materiálu.
4. Vyřešte nerovnici
3.2. Konsolidace krok za krokem.
Vyřešte nerovnost č. 6,60(a)
Shrnutí lekce.
Odraz.
Domácí práce.
P. 6.6
Č. 6,49 (b, d)
č. 6,52 (a, b)
Č. 6,56 (d)
č. 6,60 (b)
Přiložené soubory
Algebra a začátek matematické analýzy. Stupeň 10. Učebnice. Nikolsky S.M. atd.
Základní a profilové úrovně
8. vyd. - M.: Vzdělávání, 2009. - 430 s.
Učebnice odpovídá federálním složkám státního standardu všeobecného vzdělávání v matematice a obsahuje látku pro základní i specializovaný stupeň. Pracovat s ním můžete bez ohledu na to, z jakých učebnic se školáci učili v minulých letech.
Učebnice je zaměřena na přípravu studentů pro vstup na vysoké školy.
Formát: djvu
Velikost: 15,2 MB
Sledujte, stahujte:drive.google ; Rghost
Formát: pdf
Velikost: 42,3 MB
Sledujte, stahujte:drive.google ; Rghost
Poznámka: Kvalita PDF je lepší, téměř vynikající. Vyrobeno ze stejného skenu, 150 dpi, barevně. V DJVU to ale dopadá trochu hůř. To je případ, kdy na velikosti záleží.
OBSAH
KAPITOLA I. KOŘENY, MOCNOSTI, LOGARITMY
§ 1. Reálná čísla 3
1.1. Koncept reálného čísla 3
1.2. Spousta čísel. Vlastnosti reálných čísel. ... 10
1,3*. Metoda matematické indukce 16
1.4. Permutace 22
1.5. Umístění 25
1.6. Kombinace 27
1,7*. Důkaz číselných nerovností 30
1,8*. Dělitelnost celých čísel 35
1,9*. Srovnání modulo t 38
1,10*. Problémy s celočíselnými neznámými 40
§ 2. Racionální rovnice a nerovnice 44
2.1. Racionální výrazy 44
2.2. Newtonovy binomické vzorce, součty a rozdíly mocnin. . 48
2,3*. Dělení polynomů se zbytkem. Euklidovský algoritmus... 53
2,4*. Bezoutova věta 57
2,5*. Kořen polynomu 60
2.6. Racionální rovnice 65
2.7. Soustavy racionálních rovnic 70
2.8. Intervalová metoda řešení nerovností 75
2.9. Racionální nerovnosti 79
2.10. Nepřísné nerovnosti 84
2.11. Systémy racionálních nerovnic 88
§ 3. Kořen stupně n 93
3.1. Pojem funkce a její graf 93
3.2. Funkce y = x" 96
3.3. Koncept kořene stupně n 100
3.4. Odmocniny sudých a lichých stupňů 102
3.5. Aritmetický kořen 106
3.6. Vlastnosti kořenů stupně l 111
3,7*. Funkce y = nx (x > 0) 114
3,8*. Funkce y = nVx 117
3,9*. Odmocnina n přirozeného čísla 119
§ 4. Síla kladného čísla 122
4.1. Mocnina s racionálním exponentem 122
4.2. Vlastnosti stupňů s racionálním exponentem 125
4.3. Koncept limitu sekvence 131
4,4*. Vlastnosti limit 134
4.5. Nekonečně klesající geometrický postup. . . 137
4.6. Číslo e 140
4.7. Pojem titul s iracionálním exponentem.... 142
4.8. Exponenciální funkce 144
§ 5. Logaritmy 148
5.1. Koncept logaritmu 148
5.2. Vlastnosti logaritmů 151
5.3. Logaritmická funkce 155
5,4*. Desetinné logaritmy 157
5,5*. Výkonové funkce 159
§ 6. Exponenciální a logaritmické rovnice a nerovnice. . 164
6.1. Nejjednodušší exponenciální rovnice 164
6.2. Jednoduché logaritmické rovnice 166
6.3. Rovnice zredukované na nejjednodušší nahrazením neznámých 169
6.4. Nejjednodušší exponenciální nerovnosti 173
6.5. Nejjednodušší logaritmické nerovnosti 178
6.6. Nerovnosti snížené na nejjednodušší nahrazením neznámých 182
Historické informace 187
KAPITOLA II. TRIGONOMETRICKÉ VZORCE. TRIGONOMETRICKÉ FUNKCE
§ 7. Sinus a kosinus úhlu 193
7.1. Pojem úhlu 193
7.2. Radiánová míra úhlu 200
7.3. Určení sinu a kosinu úhlu 203
7.4. Základní vzorce pro sin a a cos a 211
7.5. Arcsine 216
7.6. Arc cosinus 221
7,7*. Příklady použití arcsinusu a arkosinu.... 225
7,8*. Vzorce pro arcsinus a arckosin 231
§ 8. Tangenta a kotangens úhlu 233
8.1. Určení tečny a kotangens úhlu 233
8.2. Základní vzorce pro tg a a ctg a 239
8.3. Arktugent 243
8,4*. Arkus tangens 246
8,5*. Příklady použití arctangens a arckotangens. . 249
8,6*. Vzorce pro arktangens a arkkotangens 255
§ 9. Sčítací vzorce 258
9.1. Kosinus rozdílu a kosinus součtu dvou úhlů 258
9.2. Vzorce pro doplňkové úhly 262
9.3. Sinus součtu a sinus rozdílu dvou úhlů 264
9.4. Součet a rozdíl sinusů a kosinů 266
9.5. Vzorce pro dvojité a poloviční úhly 268
9,6*. Součin sinů a kosinus 273
9,7*. Vzorce pro tečny 275
§ 10. Goniometrické funkce číselného argumentu 280
10.1. Funkce y = sin x 281
10.2. Funkce y = cos x 285
10.3. Funkce y = tg * 288
10.4. Funkce y = ctg x 292
§ 11. Goniometrické rovnice a nerovnice 295
11.1. Jednoduché goniometrické rovnice 295
11.2. Rovnice zredukované na nejjednodušší nahrazením neznámých 299
11.3. Použití základních goniometrických vzorců při řešení rovnic 303
11.4. Homogenní rovnice 307
11,5*. Nejjednodušší nerovnosti pro sinus a kosinus.... 310
11,6*. Nejjednodušší nerovnosti pro tečnu a kotangens. . . 315
11,7*. Nerovnosti snížené na nejjednodušší nahrazením neznámých 319
11,8*. Zavedení pomocného úhlu 322
11,9*. Nahrazení neznámého t = sin x + cos x 327
Historické informace 330
KAPITOLA III. PRVKY TEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI
§ 12. Pravděpodobnost události 333
12.1. Pojem pravděpodobnosti události 333
12.2. Vlastnosti pravděpodobností událostí 338
§ 13*. Frekvence. Podmíněná pravděpodobnost 342
13,1*. Relativní četnost události 342
13,2*. Podmíněná pravděpodobnost. Nezávislé události 344
§ 14*. Očekávaná hodnota. Zákon velkých čísel 348
14,1*. Matematické očekávání 348
14,2*. Těžká zkušenost 353
14,3*. Bernoulliho vzorec. Zákon velkých čísel 355
Historické informace 359
KONTROLNÍ ÚKOLY 362
Předmětový rejstřík 407
Odpovědi 410
Učitel matematiky Městský vzdělávací ústav - Střední škola č. 2, Stepnoe Trufyakova Web Galina Ivanovna
Snímek 2
Shrnutí lekce
Téma Exponenciální nerovnice je základním tématem v matematice. Podle učebnice S. M. Nikolského se studuje v 10. ročníku a na jeho studium jsou v plánování vyčleněny 2 hodiny: 1 hodina - Nejjednodušší exponenciální nerovnice; 1 hodina – Nerovnosti snížené na nejjednodušší nahrazením neznámého. Během této doby je nutné seznámit studenty s novým a velmi objemným materiálem, naučit je řešit všechny typy exponenciálních nerovnic a tyto dovednosti a schopnosti dobře procvičit.Proto lekce utváření nových znalostí formou přednášek s využitím informací a komunikační technologie umožňují řešit tyto problémy rychle a efektivněji.
Snímek 3
Snímek 4
Albert Einstein
„Musím svůj čas rozdělit mezi politiku a řešení rovnic a nerovností. Řešení rovnic a nerovnic je však podle mého názoru mnohem důležitější, protože politika existuje jen pro tuto chvíli, ale rovnice a nerovnosti budou existovat navždy.“
Snímek 5
Struktura lekce
Organizační moment Stanovení cílů a záměrů Plán přednášky Aktualizace znalostí studentů formou opakování dříve probrané látky Zavádění nových znalostí Upevňování znalostí formou rozhovoru Shrnutí hodiny Domácí úkol
Snímek 6
Organizace času
Pozdravte studenty Jména studentů nepřítomných ve třídě zapište do třídní knihy
Snímek 7
Stanovení cílů a cílů
Oznamte studentům na začátku hodiny její cíle a záměry Seznamte studenty s plánem přednášky a zapište si jej do sešitu.
Snímek 8
Cíle lekce
Vzdělávací Formování pojmu exponenciálních nerovnic Seznámení studentů s typy exponenciálních nerovnic Formování dovedností a schopností pro řešení exponenciálních nerovnic
Snímek 9
Vzdělávací Kultivace tvrdé práce Kultivace nezávislosti při dosahování cílů Formování výpočetních dovedností Formování estetických dovedností při psaní poznámek
Snímek 10
Vývojový rozvoj duševní činnosti Rozvoj tvůrčí iniciativy Rozvoj kognitivní činnosti Rozvoj řeči a paměti
Snímek 11
Cíle lekce
Zopakujte si vlastnosti exponenciální funkce Zopakujte si pravidla pro řešení kvadratických a zlomkových racionálních nerovnic Vypracujte algoritmus pro řešení nejjednodušších exponenciálních nerovnic Naučte studenty rozlišovat mezi typy exponenciálních nerovnic Naučte studenty řešit exponenciální nerovnosti
Snímek 12
Typ lekce
Lekce v utváření nových znalostí
Snímek 13
Typ lekce
Lekce - přednáška
Snímek 14
Metody výuky
Vysvětlující a názorné Heuristické vyhledávání Problematické
Snímek 15
Vzdělávací technologie
Informační a komunikační technologie založené na problémovém učení
Snímek 16
Osnova přednášky
Opakování vlastností exponenciální funkce Nejjednodušší exponenciální nerovnosti Exponenciální nerovnosti, které se redukují na nejjednodušší Exponenciální nerovnosti, které se redukují na kvadratické nerovnosti Homogenní exponenciální nerovnosti prvního stupně Homogenní exponenciální nerovnosti druhého stupně- Exponenciální nerovnosti, které se redukují na racionální nerovnice standardní nerovnosti
Snímek 17
Opakování dříve probrané látky
Řešte na tabuli a v sešitech: a) kvadratické nerovnosti: x² – 2x – 1≥0 x² – 2x - 3 ≤0 b) zlomkovou racionální nerovnost: (x – 5) \ (x - 2) ≤ 0
Snímek 18
Opakování vlastností exponenciální funkce
Snímek 19
monotónně klesá na R Osa Ox je vodorovná asymptota monotónně roste na R 8. Pro jakékoli reálné hodnoty x a y; a>0, a≠1; b>0, b≠1. 7. Asymptota 6. Extrémy 5. Monotónnost 4. Sudá, lichá 3. Intervaly pro porovnávání hodnot funkce s jednotou 2. Rozsah hodnot funkce 1 Rozsah definice funkce Vlastnosti exponenciální funkce Exponenciální nerovnice, jejich druhy a způsoby řešení Exponenciální funkce nemá extrémy, není ani sudá ani lichá (funkce obecného tvaru).
Snímek 20
Exponenciální nerovnice, jejich druhy a metody řešení Úkol č. 1 Najděte definiční obor funkce
Snímek 21
Exponenciální nerovnice, jejich druhy a způsoby řešení Úkol č. 2 Určete hodnoty
Snímek 22
Exponenciální nerovnice, jejich druhy a metody řešení Úkol č. 3 Určete typ funkce rostoucí klesající rostoucí klesající
Snímek 23
Zavádění nových poznatků
Snímek 24
Exponenciální nerovnice, jejich druhy a způsoby řešení DEFINICE nejjednodušších exponenciálních nerovnic: Nechť a je dané kladné číslo nerovnající se jedné a b je dané reálné číslo. Pak nerovnosti ax>b (ax≥b) a ax
Snímek 25
Exponenciální nerovnosti, jejich druhy a způsoby řešení JAK SE nazývá řešení nerovnice? Řešením nerovnosti s neznámým x je číslo x0, které po dosazení do nerovnosti vytvoří skutečnou číselnou nerovnost.
Snímek 26
Exponenciální nerovnosti, jejich druhy a způsoby řešení CO ZNAMENÁ řešit nerovnici? Řešení nerovnosti znamená najít všechna její řešení nebo ukázat, že žádná neexistují.
Snímek 27
Uvažujme relativní polohu grafu funkce y=ax, a>0, a≠1a přímky y=b Exponenciální nerovnice, jejich typy a způsoby řešení y x y x y=b, b 0 y=b, b> 0 0 1 0 1 x 0 x 0
Snímek 28
Exponenciální nerovnice, jejich druhy a způsoby řešení ZÁVĚR č. 1: Když b≤0, přímka y=b neprotíná graf funkce y=ax, protože se nachází pod křivkou y=ax, proto jsou pro xR splněny nerovnosti ax>b(ax≥b) a nerovnosti ax
Snímek 29
ZÁVĚR č. 2: y x 0 x0 x1 y=b, b>0 x2 Exponenciální nerovnice, jejich typy a způsoby řešení Pokud a>1 a b > 0, pak pro každé x1 x0- pod přímkou y=b . 1 Pro b> 0 protíná přímka y = b graf funkce y = ax v jediném bodě, jehož úsečka je x0 = logab
Snímek 30
ZÁVĚR č. 2: y x 0 x0 x1 y=b, b>0 1 Exponenciální nerovnice, jejich typy a způsoby řešení Pokud a>1 a b > 0, pak pro každé x1 >x0 odpovídající bod grafu funkce y=ax se nachází nad přímkou y=b a pro každé x2 0 přímka y = b protíná graf funkce y = ax v jediném bodě, jehož úsečka je x0 = logab x2
Snímek 31
Nejjednodušší exponenciální nerovnice Exponenciální nerovnice, jejich typy a způsoby řešení
Snímek 32
Exponenciální nerovnice, jejich druhy a způsoby řešení Příklad č. 1.1 Odpověď: narůstá v celém oboru definice, Řešení:
Snímek 33
Exponenciální nerovnice, jejich druhy a způsoby řešení Příklad č. 1.2 Řešení: Odpověď: klesá v celém definičním oboru,
Snímek 34
Exponenciální nerovnice, jejich druhy a způsoby řešení Příklad č. 1.3 Řešení: Odpověď: narůstá v celém oboru definice,
Snímek 35
Exponenciální nerovnice, jejich druhy a způsoby řešení Typy exponenciálních nerovnic a způsoby jejich řešení 1) Exponenciální nerovnice, redukované na nejjednodušší, se zvětšují v celém definičním oboru Příklad č. 1 Odpověď: Řešení:
Snímek 36
Exponenciální nerovnice, jejich typy a způsoby řešení Příklad č. 1.4 Řešení: narůstá v celém oboru definice, Odpověď:
Snímek 37
Exponenciální nerovnice, jejich druhy a metody řešení Typy exponenciálních nerovnic a metody jejich řešení Exponenciální nerovnice, redukované na nejjednodušší Příklad č. 2 se zvětšuje v celém oboru definice Odpověď: Řešení:
Snímek 38
Exponenciální nerovnice, jejich druhy a metody řešení Typy exponenciálních nerovnic a metody jejich řešení 2) Exponenciální nerovnice, redukující na kvadratické nerovnice Příklad Vraťme se k proměnné x zvyšuje pro všechna x z definičního oboru Odpověď: Řešení:
Snímek 39
Exponenciální nerovnice, jejich druhy a metody řešení Typy exponenciálních nerovnic a metody jejich řešení 3) Homogenní exponenciální nerovnice prvního a druhého stupně. Homogenní exponenciální nerovnosti prvního stupně Příklad č. 1 se zvětšuje přes celý definiční obor Odpověď: Řešení:
Exponenciální nerovnice, jejich druhy a metody řešení Typy exponenciálních nerovnic a metody jejich řešení 4) Exponenciální nerovnosti, redukování na racionální nerovnice Příklad Vraťme se k proměnné x přírůstky v celém definičním oboru Odpověď: Řešení:
Snímek 43
Exponenciální nerovnice, jejich druhy a metody řešení Typy exponenciálních nerovnic a metody jejich řešení 5) Exponenciální nestandardní nerovnice Příklad Řešení: Řešme každý výrok množiny zvlášť. Nerovnost se rovná agregátu
Snímek 44
Exponenciální nerovnice, jejich typy a metody řešení Typy exponenciálních nerovnic a metody jejich řešení 5) Exponenciální nestandardní nerovnice Příklad Odpověď: Řešení: Kontrola Kontrola ukázala, že x=1, x=3, x=1,5 jsou řešení rovnice a x=2 není řešením rovnice. Tak,
Snímek 45
Upevňování znalostí
Jaké nerovnosti se nazývají exponenciální? Kdy má exponenciální nerovnost řešení pro jakoukoli hodnotu x? Kdy exponenciální nerovnost nemá řešení? Jaké typy nerovností jste se v této lekci naučili? Jak se řeší nejjednodušší nerovnosti? Jak se řeší nerovnosti redukující na kvadratické nerovnosti? Jak se řeší homogenní nerovnosti? Jak se řeší nerovnosti, které lze redukovat na racionální?
Snímek 46
Shrnutí lekce
Zjistěte, co nového se studenti v této lekci naučili. Udělujte studentům známky za jejich práci v lekci s podrobnými komentáři
Snímek 47
Domácí práce
Učebnice pro ročník 10 „Algebra a počátky analýzy“ autor S.M. Nikolsky Prostudujte si odstavce 6.4 a 6.6, č. 6.31-6.35 a č. 6.45-6.50 řešit
Snímek 48
Exponenciální nerovnice, jejich typy a způsoby řešení
Načítání...