פתרון בעיית המוכר הנוסע. פתרון בעיית תחבורה שליטה כללית בדיסציפלינה

הוראות. כדי לקבל פתרון לבעיית הובלה באינטרנט, בחר את מימד מטריצת התעריפים (מספר ספקים ומספר חנויות).

הפעולות הבאות משמשות גם עם מחשבון זה:
שיטה גרפית לפתרון ZLP
שיטה פשוטה לפתרון ZLP
פתרון משחק מטריקס
באמצעות השירות המקוון ניתן לקבוע מחיר של משחק מטריקס (גבול תחתון ועליון), לבדוק הימצאות נקודת אוכף, למצוא פתרון לאסטרטגיה מעורבת בשיטות הבאות: מינימקס, שיטת סימפלקס, גרפית (גיאומטרית). ) שיטת, שיטת בראון.

קיצון של פונקציה של שני משתנים
בעיות תכנות דינמיות

השלב הראשון לפתרון בעיית התחבורההוא לקבוע את סוגו (פתוח או סגור, או מאוזן או לא מאוזן בדרך אחרת). שיטות משוערות ( שיטות למציאת תוכנית ייחוס) לאפשר שלב שני של הפתרוןבמספר קטן של שלבים להשיג פתרון מקובל, אך לא תמיד אופטימלי, לבעיה. קבוצת שיטות זו כוללת את השיטות הבאות:

מחיקה (שיטת העדפה כפולה);
פינה צפון מערבית;
אלמנט מינימום;
קירובים של פוגל.

פתרון התייחסות לבעיית התחבורה

פתרון ההתייחסות לבעיית התחבורההוא כל פתרון אפשרי שעבורו וקטורי התנאים התואמים לקואורדינטות החיוביות הם בלתי תלויים ליניארית. כדי לבדוק את העצמאות הליניארית של וקטורי התנאים התואמים לקואורדינטות של פתרון קביל, משתמשים במחזורים.
מחזוררצף תאים בטבלת משימות תעבורה נקרא שבו שני תאים סמוכים בלבד ממוקמים באותה שורה או עמודה, והראשון והאחרון נמצאים גם הם באותה שורה או עמודה. מערכת של וקטורים של תנאי בעיית תחבורה היא בלתי תלויה ליניארית אם ורק אם לא ניתן ליצור מחזור מהתאים המתאימים של הטבלה. לפיכך, פתרון קביל לבעיית התחבורה, i=1,2,...,m; j=1,2,...,n הוא הפניה רק אם לא ניתן ליצור מחזור מתאי הטבלה התפוסים בו.

שיטות משוערות לפתרון בעיית התחבורה.
שיטת הצלבה (שיטת העדפה כפולה). אם יש תא תפוס אחד בשורה או בעמודה של טבלה, אז לא ניתן לכלול אותו בכל מחזור, שכן למחזור יש שניים ורק שני תאים בכל עמודה. לכן, ניתן לחצות את כל שורות הטבלה המכילות תא תפוס אחד, לאחר מכן לחצות את כל העמודות המכילות תא תפוס אחד, לאחר מכן לחזור לשורות ולהמשיך לחצות שורות ועמודות. אם, כתוצאה ממחיקה, כל השורות והעמודות נמחקו החוצה, זה אומר שמתוך התאים התפוסים של הטבלה אי אפשר לבחור חלק שיוצר מחזור, ומערכת הווקטורים התואמים של תנאים היא בלתי תלויה ליניארית, והפתרון הוא התייחסות. אם לאחר המחיקה נותרו תאים מסוימים, אז התאים הללו יוצרים מחזור, מערכת הווקטורים התואמים של תנאים תלויה ליניארית, והפתרון אינו ייחוס.
שיטת הזווית הצפון מערביתמורכב ממעבר רצוף על השורות והעמודות של טבלת ההובלה, החל מהעמודה השמאלית והשורה העליונה, וכתיבת המשלוחים המקסימליים האפשריים בתאים המתאימים בטבלה כך שיכולות הספק או צרכי הצרכן המצוינים ב- לא חורגים מהמשימה. בשיטה זו, לא נותנים תשומת לב למחירי המשלוח, מכיוון שמניחים אופטימיזציה נוספת של המשלוחים.
שיטת אלמנט מינימלי. למרות פשטותה, שיטה זו עדיין יעילה יותר משיטת הזווית הצפון-מערבית, למשל. יתרה מכך, שיטת האלמנטים המינימליים ברורה והגיונית. המהות שלו היא שבטבלת ההובלה ממלאים תחילה את התאים עם התעריפים הנמוכים ביותר, ולאחר מכן את התאים עם התעריפים הגבוהים. כלומר, אנו בוחרים בהובלה בעלות מינימלית של משלוח מטען. זה מהלך ברור והגיוני. נכון, זה לא תמיד מוביל לתוכנית האופטימלית.
שיטת הקירוב של פוגל. בשיטת הקירוב של פוגל, בכל איטרציה, נמצא ההפרש בין שני תעריפי המינימום הכתובים בהם עבור כל העמודות וכל השורות. הבדלים אלה נרשמים בשורה ובעמודה המיועדים במיוחד בטבלת תנאי הבעיה. בין ההבדלים המצוינים, המינימום נבחר. בשורה (או בעמודה) שההבדל הזה מתאים לה נקבע התעריף המינימלי. התא בו הוא כתוב ממולא באיטרציה זו.

דוגמה מס' 1. מטריצת התעריפים (כאן מספר הספקים הוא 4, מספר החנויות הוא 6):

	1	2	3	4	5	6	עתודות
1	3	20	8	13	4	100	80
2	4	4	18	14	3	0	60
3	10	4	18	8	6	0	30
4	7	19	17	10	1	100	60
צרכי	10	30	40	50	70	30

פִּתָרוֹן. שלב מקדיםפתרון בעיית תחבורה מסתכם בקביעת סוגה, האם היא פתוחה או סגורה. הבה נבדוק את התנאי ההכרחי והמספק לפתרון הבעיה.
∑a = 80 + 60 + 30 + 60 = 230
∑b = 10 + 30 + 40 + 50 + 70 + 30 = 230
מתקיים תנאי האיזון. מספק צרכים שווים. אז, המודל של בעיית התחבורה סגור. אם המודל היה פתוח, היה צורך להציג ספקים או צרכנים נוספים.
עַל שלב שניחיפוש תוכנית ההתייחסות מתבצע באמצעות השיטות המפורטות לעיל (הנפוצה ביותר היא שיטת העלות הנמוכה ביותר).
כדי להדגים את האלגוריתם, אנו מציגים רק כמה איטרציות.
איטרציה מס' 1. אלמנט המטריצה המינימלי הוא אפס. עבור רכיב זה, המלאי הוא 60 והדרישות הן 30. אנו בוחרים מהם את המספר המינימלי 30 ומחסירים אותו (ראה טבלה). במקביל, אנו חוצים את העמודה השישית מהטבלה (הצרכים שלה שווים ל-0).

3	20	8	13	4	איקס	80
4	4	18	14	3	0	60 - 30 = 30
10	4	18	8	6	איקס	30
7	19	17	0	1	איקס	60
10	30	40	50	70	30 - 30 = 0	0

איטרציה מס' 2. שוב אנחנו מחפשים את המינימום (0). מתוך הזוג (60;50) אנו בוחרים את המספר המינימלי 50. חוצים את העמודה החמישית.

3	20	8	איקס	4	איקס	80
4	4	18	איקס	3	0	30
10	4	18	איקס	6	איקס	30
7	19	17	0	1	איקס	60 - 50 = 10
10	30	40	50 - 50 = 0	70	0	0

איטרציה מס' 3. אנו ממשיכים בתהליך עד שבחרנו את כל הצרכים והאספקה.
איטרציה מס' נ. האלמנט שאתה מחפש הוא 8. עבור אלמנט זה, האספקה שווה לדרישות (40).

3	איקס	8	איקס	4	איקס	40 - 40 = 0
איקס	איקס	איקס	איקס	3	0	0
איקס	4	איקס	איקס	איקס	איקס	0
איקס	איקס	איקס	0	1	איקס	0
0	0	40 - 40 = 0	0	0	0	0

	1	2	3	4	5	6	עתודות
1	3	20	8	13	4	100	80
2	4	4	18	14	3	0	60
3	10	4	18	8	6	0	30
4	7	19	17	0	1	100	60
צרכי	10	30	40	50	70	30

בואו נספור את מספר התאים התפוסים של הטבלה, יש 8 מהם, אבל זה צריך להיות m + n - 1 = 9. לכן, תוכנית התמיכה מנוונת. אנחנו עושים תוכנית חדשה. לפעמים אתה צריך לבנות כמה תוכניות ייחוס לפני שמוצאים תוכניות לא מנוונות.

	1	2	3	4	5	6	עתודות
1	3	20	8	13	4	100	80
2	4	4	18	14	3	0	60
3	10	4	18	8	6	0	30
4	7	19	17	0	1	100	60
צרכי	10	30	40	50	70	30

כתוצאה מכך, מתקבלת תוכנית התמיכה הראשונה, שהיא תקפה, שכן מספר התאים התפוסים של הטבלה הוא 9 ומתאים לנוסחה m + n - 1 = 6 + 4 - 1 = 9, כלומר. תוכנית ההתייחסות היא לא מנוון.
שלב שלישימורכב משיפור תוכנית הייחוס שנמצאה. כאן הם משתמשים בשיטת הפוטנציאל או בשיטת ההפצה. בשלב זה ניתן לעקוב אחר נכונות הפתרון באמצעות פונקציית העלות F(x) . אם הוא יורד (בכפוף למזעור עלויות), אז הפתרון נכון.

דוגמה מס' 2. בשיטת תעריף מינימום, הציגו תכנית ראשונית לפתרון בעיית תחבורה. בדוק אופטימליות באמצעות שיטת הפוטנציאל.

	30	50	70	10	30	10
40	2	4	6	1	1	2
80	3	4	5	9	9	6
60	4	3	2	7	8	7
20	5	1	3	5	7	9

דוגמה מס' 3. ארבעה מפעלי ממתקים יכולים לייצר שלושה סוגים של מוצרי ממתקים. עלויות הייצור של חמישייה אחת (קווינטל) של מוצרי ממתקים על ידי כל מפעל, כושר הייצור של המפעלים (קווינטל לחודש) והדרישות היומיות למוצרי ממתקים (קווינטל לחודש) מצוינות בטבלה. ערכו תוכנית ייצור ממתקים הממזערת את עלויות הייצור הכוללות.

הערה. כאן, אתה יכול תחילה להעביר את טבלת העלויות, שכן עבור הניסוח הקלאסי של בעיית התחבורה, היכולות (הייצור) באות קודם, ולאחר מכן הצרכנים.

דוגמה מס' 4. לבניית מתקנים, לבנים מסופקות משלושה מפעלים (I, II, III). למפעלים יש 50, 100 ו-50 אלף יחידות במחסנים, בהתאמה. לבנים חפצים דורשים 50, 70, 40 ו-40 אלף חתיכות, בהתאמה. לבנים התעריפים (ד. יחידות/אלף יחידות) מופיעים בטבלה. צור תוכנית הובלה שממזערת את עלויות ההובלה הכוללות.

ייסגר אם:
א) a=40, b=45
ב) a=45, b=40
ב) a=11, b=12
מצב בעיית התחבורה הסגורה: ∑a = ∑b
אנו מוצאים, ∑a = 35+20+b = 55+b; ∑b = 60+a
נקבל: 55+b = 60+a
שוויון יישמר רק כאשר a=40, b=45

מבחן מתמטיקה SAT מכסה מגוון שיטות מתמטיות, עם דגש על פתרון בעיות, מודלים מתמטיים ושימוש אסטרטגי בידע מתמטי.

מבחן SAT מתמטיקה: בדיוק כמו בעולם האמיתי

במקום לבחון אותך בכל נושא מתמטי, ה-SAT החדש בודק את יכולתך להשתמש במתמטיקה שתסתמך עליה ברוב הפעמים ובמצבים רבים ושונים. שאלות למבחן במתמטיקה נועדו לשקף פתרון בעיות ומודלים שבהם תתמודד

לימודים באוניברסיטה, לימוד ישיר של מתמטיקה, וכן מדעי הטבע והחברה;
- הפעילויות המקצועיות היומיומיות שלך;
- חיי היומיום שלך.

למשל, כדי לענות על כמה שאלות, תצטרכו להשתמש במספר שלבים – כי בעולם האמיתי, מצבים שבהם די בצעד אחד פשוט כדי למצוא פתרון הם נדירים ביותר.

פורמט מתמטיקה SAT

מבחן SAT במתמטיקה: עובדות בסיסיות

מדור מתמטיקה SAT מתמקד בשלושה תחומי מתמטיקה הממלאים תפקיד מוביל ברוב המקצועות האקדמיים בהשכלה הגבוהה ובקריירה המקצועית:
- לב האלגברה: יסודות האלגברה, המתמקדת בפתרון משוואות ומערכות ליניאריות;
- פתרון בעיות וניתוח נתונים: פתרון בעיות וניתוח נתונים חיוניים לאוריינות מתמטית כללית;
- דרכון למתמטיקה מתקדמת: יסודות המתמטיקה המתקדמת, ששואלת שאלות הדורשות מניפולציה של משוואות מורכבות.
המבחן במתמטיקה נשען גם על נושאים נוספים במתמטיקה, לרבות גיאומטריה וטריגונומטריה, החשובים ביותר ללימודים באוניברסיטה ולקריירה המקצועית.

מבחן SAT במתמטיקה: וידאו

יסודות האלגברה
לב האלגברה

חלק זה של מתמטיקה SAT מתמקד באלגברה ובמושגי המפתח החשובים ביותר להצלחה במכללה ובקריירה. הוא מעריך את יכולתם של התלמידים לנתח, לפתור ולבנות משוואות לינאריות ואי-שוויון באופן חופשי. כמו כן, התלמידים יידרשו לנתח ולפתור באופן שוטף משוואות ומערכות משוואות תוך שימוש במספר שיטות.כדי להעריך את הידע בחומר זה באופן מלא, הבעיות ישתנו באופן משמעותי בסוג ובתוכן. הם יכולים להיות די פשוטים או לדרוש חשיבה והבנה אסטרטגית, כגון פירוש האינטראקציה בין ביטויים גרפיים לאלגבריים או הצגת פתרון כתהליך חשיבה. הנבחנים חייבים להפגין לא רק ידע בטכניקות פתרון, אלא גם הבנה מעמיקה יותר של המושגים העומדים בבסיס המשוואות והפונקציות ליניאריות. SAT Math Fundamentals of Algebra ניקוד בסולם של 1 עד 15.

חלק זה יכיל משימות שהתשובה עליהן מוצגת בבחירה מרובה או בחישוב עצמאי על ידי התלמיד. השימוש במחשבון מותר לפעמים, אך לא תמיד הכרחי או מומלץ.

1. לבנות, לפתור או לפרש ביטוי או משוואה ליניארית עם משתנה אחד, בהקשר של כמה תנאים ספציפיים. לביטוי או משוואה עשויים להיות מקדמים רציונליים, וייתכן שיידרשו מספר שלבים כדי לפשט את הביטוי או לפתור את המשוואה.

2. לבנות, לפתור או לפרש אי-שוויון ליניארי עם משתנה אחד, בהקשר של כמה תנאים ספציפיים. לאי שוויון עשויים להיות מקדמים רציונליים והוא עשוי לדרוש מספר שלבים כדי לפשט או לפתור.

3. בנה פונקציה לינארית המדגלת קשר ליניארי בין שתי כמויות. על הנבחן לתאר קשר ליניארי המבטא תנאים מסוימים באמצעות משוואה עם שני משתנים או פונקציה. למשוואה או לפונקציה יהיו מקדמים רציונליים, וייתכן שיידרשו מספר שלבים כדי לבנות ולפשט את המשוואה או הפונקציה.

4. לבנות, לפתור ולפרש מערכות של אי-שוויון ליניארי עם שני משתנים. הנבחן ינתח תנאי אחד או יותר הקיימים בין שני משתנים על ידי בנייה, פתרון או פרשנות של אי-שוויון דו-משתנים או מערכת של אי-שוויון שני משתנים, במסגרת תנאים מסוימים שצוינו. בניית אי-שוויון או מערכת של אי-שוויון עשויה לדרוש מספר שלבים או הגדרות.

5. לבנות, לפתור ולפרש מערכות של שתי משוואות לינאריות בשני משתנים. הנבחן ינתח תנאי אחד או יותר הקיימים בין שני משתנים על ידי בנייה, פתרון או ניתוח של מערכת משוואות לינאריות, בתנאים מסוימים שצוינו. למשוואות יהיו מקדמים רציונליים, וייתכן שיידרשו מספר שלבים כדי לפשט או לפתור את המערכת.

6. פתרו משוואות ליניאריות (או אי-שוויון) עם משתנה אחד. למשוואה (או לאי-שוויון) יהיו מקדמים רציונליים ועשויים לדרוש מספר שלבים לפתרון. ייתכן שלמשוואות אין פתרון, פתרון אחד או מספר אינסופי של פתרונות. כמו כן, הנבחן עשוי להתבקש לקבוע את הערך או המקדם של משוואה שאין לה פתרון או שיש לה מספר אינסופי של פתרונות.

7. לפתור מערכות של שתי משוואות לינאריות עם שני משתנים. למשוואות יהיו מקדמים רציונליים, וייתכן שלמערכת אין פתרון, פתרון אחד או אינסוף פתרונות. כמו כן, הנבחן עשוי להתבקש לקבוע את הערך או המקדם של משוואה שבה ייתכן שלמערכת אין פתרון, פתרון אחד או מספר אינסופי של פתרונות.

8. הסבירו את הקשר בין ביטויים אלגבריים לביטויים גרפיים. זהה את הגרף המתואר על ידי משוואה ליניארית נתונה או המשוואה הליניארית שמתארת גרף נתון, קבע את המשוואה של קו נתון על ידי תיאור מילולי של הגרף שלו, זהה תכונות מפתח של הגרף של פונקציה לינארית מהמשוואה שלה, קבע כיצד גרף עשוי להיות מושפע משינוי המשוואה שלו.

פתרון בעיות וניתוח נתונים
פתרון בעיות וניתוח נתונים

חלק זה של מתמטיקה SAT משקף מחקר שזיהה מה חשוב להצלחה במכללה או באוניברסיטה. מבחנים דורשים פתרון בעיות וניתוח נתונים: היכולת לתאר באופן מתמטי מצב מסוים, תוך התחשבות באלמנטים המעורבים, להכיר ולהשתמש במאפיינים שונים של פעולות ומספרים מתמטיים. בעיות בקטגוריה זו ידרשו ניסיון משמעותי בחשיבה לוגית.

הנבחנים יידרשו לדעת את חישוב הערכים הממוצעים של אינדיקטורים, דפוסים כלליים וסטיות מהתמונה הכללית והתפלגות בסטים.

כל השאלות לפתרון בעיות וניתוח נתונים בודקות את יכולתם של הנבחנים להשתמש בהבנתם ובכישוריהם המתמטיים כדי לפתור בעיות שהם עלולים להיתקל בהם בעולם האמיתי. רבים מהנושאים הללו נשאלים בהקשרים אקדמיים ומקצועיים וסביר להניח שהם קשורים למדע ולסוציולוגיה.

פתרון בעיות וניתוח נתונים הוא אחד משלושה תת-סעיפים של מתמטיקה SAT שמקבלים ציון מ-1 עד 15.

חלק זה יכיל שאלות עם תשובות מרובות או תשובות בחישוב עצמי. שימוש במחשבון כאן מותר תמיד, אך לא תמיד הכרחי או מומלץ.

בחלק זה של SAT Math, אתה עשוי להיתקל בשאלות הבאות:

1. השתמש ביחסים, שיעורים, פרופורציות וציורים בקנה מידה כדי לפתור בעיות חד-שלביות ורב-שלביות. נבחנים ישתמשו ביחס פרופורציונלי בין שני משתנים כדי לפתור בעיה רב-שלבית כדי לקבוע יחס או שיעור; חשב את היחס או השיעור ואז פתור את הבעיה הרב-שלבית באמצעות היחס או היחס הנתונים כדי לפתור את הבעיה הרב-שלבית.

2. לפתור בעיות בודדות ורב-שלביות באחוזים. הנבחן יפתור בעיה רב-שכבתית לקביעת אחוזים. חשב את האחוז של מספר ואז פתור בעיה רב-שכבתית. בעזרת אחוז נתון, פתור בעיה רב-שכבתית.

3. לפתור בעיות חישוב חד- ורב-שלבי. הנבחן יפתור בעיה רב-שכבתית לקביעת יחידת התעריף; חשב יחידת מדידה ואז פתור בעיה רב-שלבית; פתרו בעיה מרובת רמות כדי להשלים את המרת היחידה; לפתור בעיית חישוב צפיפות רב-שלבית; או השתמשו במושג צפיפות כדי לפתור בעיה רב-שלבית.

4. בעזרת דיאגרמות פיזור, פתרו מודלים ליניאריים, ריבועיים או אקספוננציאליים כדי לתאר את הקשר בין משתנים. בהתחשב בתרשים הפיזור, בחר את משוואת הקו או עקומת ההתאמה; לפרש את הקו בהקשר של המצב; או השתמשו בקו או בעקומה המתאימים ביותר לתחזית.

5. בעזרת הקשר בין שני משתנים, חקור את פונקציות המפתח של הגרף. הנבחן ייצור קשרים בין הביטוי הגרפי של הנתונים למאפייני הגרף על ידי בחירת גרף המייצג את המאפיינים המתוארים או שימוש בגרף לקביעת ערכים או קבוצות ערכים.

6. השווה צמיחה ליניארית עם צמיחה מעריכית. הנבחן יצטרך להתאים שני משתנים כדי לקבוע איזה סוג מודל הוא אופטימלי.

7. חשב באמצעות טבלאות נתונים עבור קטגוריות שונות של כמויות, תדרים יחסיים והסתברויות מותנות. הנבחן משתמש בנתונים מקטגוריות שונות כדי לחשב תדרים מותנים, הסתברויות מותנות, שיוך משתנים או אי תלות באירועים.

8. הסקו מסקנות לגבי פרמטרי אוכלוסייה על סמך נתוני מדגם. הנבחן מעריך את פרמטר האוכלוסייה תוך התחשבות בתוצאות של מדגם אקראי של האוכלוסייה. נתונים סטטיסטיים לדוגמה יכולים לספק רווחי סמך ושגיאות מדידה שעל התלמיד להבין ולהשתמש בהם מבלי לחשב אותם.

9. השתמשו בשיטות סטטיסטיות לחישוב ממוצעים והתפלגויות. הנבחנים יחשבו את הממוצע ו/או ההתפלגות עבור קבוצה נתונה של נתונים או ישתמשו בסטטיסטיקה כדי להשוות בין שתי קבוצות נפרדות של נתונים.

10. להעריך דוחות, להסיק מסקנות, להצדיק מסקנות, ולקבוע את ההתאמה של שיטות איסוף הנתונים. דוחות יכולים להיות מורכבים מטבלאות, גרפים או סיכומי טקסט.

יסודות המתמטיקה הגבוהה
דרכון למתמטיקה מתקדמת

חלק זה של מתמטיקה SAT כולל נושאים שחשוב במיוחד לתלמידים לשלוט בהם לפני שהם עוברים למתמטיקה מתקדמת. המפתח כאן הוא הבנת מבנה הביטויים והיכולת לנתח, לתמרן ולפשט את הביטויים הללו. זה כולל גם את היכולת לנתח משוואות ופונקציות מורכבות יותר.

כמו שני הסעיפים הקודמים של מתמטיקה SAT, שאלות כאן מקבלים ציון מ-1 עד 15.

חלק זה יכיל שאלות בעלות בחירה מרובה או תשובות בחישוב עצמי, לעיתים השימוש במחשבון מותר, אך לא תמיד הכרחי או מומלץ.

בחלק זה של SAT Math, אתה עשוי להיתקל בשאלות הבאות:

1. צור פונקציה או משוואה ריבועית או מעריכית המדגימה את התנאים הנתונים. למשוואה יהיו מקדמים רציונליים ועשויים לדרוש מספר שלבים כדי לפשט או לפתור.

2. קבע את צורת הביטוי או המשוואה המתאימה ביותר לזיהוי תכונה מסוימת, בהינתן התנאים הנתונים.

3. בנו ביטויים מקבילים הכוללים מעריכים רציונליים ורדיקלים, כולל פישוט או המרה לצורה אחרת.

4. בנה צורה מקבילה של הביטוי האלגברי.

5. פתרו משוואה ריבועית שיש לה מקדמים רציונליים. המשוואה יכולה להיות מיוצגת במגוון רחב של צורות.

6. הוסף, חיסור והכפל פולינומים ופשט את התוצאה. לביטויים יהיו מקדמים רציונליים.

7. פתרו משוואה במשתנה אחד המכילה רדיקלים או מכילה משתנה במכנה של השבר. למשוואה יהיו מקדמים רציונליים.

8. פתרו מערכת של משוואות ליניאריות או ריבועיות. למשוואות יהיו מקדמים רציונליים.

9. פשט ביטויים רציונליים פשוטים. הנבחנים יוסיפו, יחסרו, יכפילו או יחלקו שני ביטויים רציונליים או יחלקו שני פולינומים ויפשטו אותם. לביטויים יהיו מקדמים רציונליים.

10. פרש חלקים של ביטויים לא ליניאריים במונחים שלהם. הנבחנים חייבים לקשר תנאים נתונים למשוואה לא ליניארית המדגמנת את התנאים הללו.

11. להבין את הקשר בין אפסים וגורמים בפולינומים ולהשתמש בידע זה כדי לבנות גרפים. נבחנים ישתמשו במאפיינים של פולינומים כדי לפתור בעיות המערבות אפסים, כגון קביעה אם ביטוי הוא גורם של פולינום, בהתחשב במידע שסופק.

12. להבין את הקשר בין שני משתנים על ידי יצירת קשרים בין הביטוי האלגברי והגרפי שלהם. על הנבחן להיות מסוגל לבחור גרף המתאים למשוואה לא ליניארית נתונה; לפרש גרפים בהקשר של פתרון מערכות משוואות; בחר משוואה לא ליניארית המתאימה לגרף הנתון; לקבוע את משוואת העקומה תוך התחשבות בתיאור המילולי של הגרף; לזהות תכונות מפתח של הגרף של פונקציה לינארית מהמשוואה שלה; לקבוע את ההשפעה על הגרף של שינוי המשוואה השולטת.

מה בוחן מדור מתמטיקה SAT?

שליטה כללית במשמעת

מבחן במתמטיקה הוא הזדמנות להראות שאתה:

ביצוע משימות מתמטיות בצורה גמישה, מדויקת, יעילה ושימוש באסטרטגיות פתרון;
- לפתור בעיות במהירות על ידי זיהוי ושימוש בגישות היעילות ביותר לפתרון. זה עשוי לכלול פתרון בעיות על ידי
ביצוע החלפות, קיצורי דרך או ארגון מחדש של המידע שאתה מספק;

הבנה מושגית

אתה תוכיח את ההבנה שלך במושגים מתמטיים, פעולות ויחסים. לדוגמה, ייתכן שתתבקש ליצור קשרים בין המאפיינים של משוואות לינאריות, הגרפים שלהן והמונחים שהן מבטאות.

יישום ידע בנושא

שאלות רבות במתמטיקה SAT לקוחות מבעיות מהחיים האמיתיים ומבקשות ממך לנתח את הבעיה, לזהות את האלמנטים הבסיסיים הדרושים כדי לפתור אותה, לבטא את הבעיה בצורה מתמטית ולמצוא פתרון.

שימוש במחשבון

מחשבונים הם כלים חשובים לביצוע חישובים מתמטיים. כדי ללמוד בהצלחה באוניברסיטה, אתה צריך לדעת איך ומתי להשתמש בהם. בחלק של מבחן מתמטיקה-מחשבון של המבחן, תוכל להתמקד במציאת הפתרון ובניתוח עצמו, כי המחשבון שלך יעזור לחסוך לך זמן.

עם זאת, מחשבון, כמו כל כלי, הוא חכם רק כמו האדם המשתמש בו. ישנן כמה שאלות במבחן במתמטיקה שבהן עדיף לא להשתמש במחשבון, גם אם מותר לך לעשות זאת. במצבים אלו, נבחנים שיכולים לחשוב ולהגיב צפויים להגיע לתשובה לפני מי שמשתמשים באופן עיוור במחשבון.

החלק במבחן מתמטיקה-ללא מחשבון מאפשר להעריך בקלות את הידע הכללי שלך בנושא ואת ההבנה שלך במושגים מסוימים במתמטיקה. זה גם בודק היכרות עם טכניקות חישוב והבנה של מושגי מספר.

שאלות עם תשובות מוזנות לטבלה

למרות שרוב השאלות במבחן במתמטיקה הן בחירה מרובה, 22 אחוז הן שאלות שבהן התשובות הן תוצאה של חישובי הנבחן - הנקראים גריד-אין. במקום לבחור את התשובה הנכונה מתוך רשימה, עליך לפתור את הבעיות ולהזין את התשובות שלך לרשתות המופיעות בדף התשובות.

התשובות הוכנסו לטבלה

סמן לא יותר מעיגול אחד בכל עמודה;
- רק תשובות שצוינו על ידי השלמת המעגל ייספרו (לא תקבלו נקודות על כל מה שנכתב בשדות הממוקמים למעלה
מעגלים).
- זה לא משנה באיזו עמודה תתחיל להזין את התשובות שלך; חשוב שהתשובות יהיו כתובות בתוך הרשת, ואז תקבלו נקודות;
- הרשת יכולה להכיל רק ארבעה מקומות עשרוניים ויכולה לקבל רק מספרים חיוביים ואפס.
- אלא אם צוין אחרת במשימה, ניתן להזין את התשובות לרשת בתור עשרוני או חלקי;
- אין צורך לצמצם שברים כגון 3/24 לערכי מינימום;
- יש להמיר את כל המספרים המעורבים לשברים לא תקינים לפני כתיבתם לרשת;
- אם התשובה היא מספר עשרוני חוזר, על התלמידים לקבוע את הערכים המדויקים ביותר שיעשו זאת
לשקול.

להלן דוגמה של ההנחיות שיראו הנבחנים בבחינת SAT Math:

הרצאות על מתמטיקה יסודית (1898) הוא התרגום האנגלי המוקדם ביותר של הפרסום של ג'וזף לואיס לגראנז' משנת 1795, Leçons élémentaires sur les mathematiques, המכילה סדרת הרצאות שניתנו באותה שנה באקול נורמל. היצירה תורגם וערך על ידי תומס ג'יי מקורמק, ומהדורה שנייה, ממנה לקוחים הציטוטים הבאים, הופיעה ב-1901.

תוכן

ציטוטים [לַעֲרוֹך]

הרצאה III. על אלגברה, במיוחד רזולוציה של משוואות מדרגה שלישית ורביעית[לַעֲרוֹך]

אלגברה היא מדע הנובע כמעט לחלוטין מהמודרניים... כי יש לנו חיבור אחד מהיוונים, זה של דיופנטוס... היחיד שאנו חייבים לקדמונים בענף זה של המתמטיקה. ...אני מדבר על היוונים בלבד, כי הרומאים לא השאירו דבר במדעים, ולמראית עין לא עשו דבר.

עבודתו מכילה את המרכיבים הראשונים של מדע זה. הוא השתמש כדי לבטא את הכמות הלא ידועה באות יוונית התואמת את שלנו רחובואשר הוחלף בתרגומים על ידי נ. כדי לבטא את הכמויות הידועות הוא השתמש במספרים בלבד, שכן אלגברה נועדה מזמן להיות מוגבלת כולה לפתרון בעיות מספריות.

[ה] הוא משתמש בכמויות הידועות והלא ידועות כאחד. וכאן מורכבת למעשה המהות של האלגברה, שהיא להשתמש בכמויות לא ידועות, לחשב איתן כפי שאנו עושים עם כמויות ידועות, וליצור מהן משוואה אחת או כמה משוואות שמהן ניתן לקבוע את ערכן של הכמויות הבלתי ידועות.

למרות שיצירתו של דיופנטוס מכילה בעיות בלתי מוגדרות כמעט אך ורק, שאת פתרונן הוא מחפש במספרים רציונליים, - בעיות שסומנו על שמו בעיות דיופנטיות, - בכל זאת אנו מוצאים בעבודתו פתרון של מספר בעיות קבועות של הראשונים. דרגה, ואפילו כזו כרוכה במספר כמויות לא ידועות. אולם במקרה האחרון, המחבר תמיד יפנה ל... צמצום הבעיה לכמות בודדת לא ידועה, וזה לא קשה.

הוא נותן, גם, את הפתרון של משוואות מהמעלה השנייה, אך מקפיד לסדר אותם שלעולם לא יקבל את הצורה המושפעת המכילה את הריבוע ואת החזקה הראשונה של הכמות הלא ידועה. ...הוא תמיד מגיע למשוואה שבה הוא צריך רק לחלץ שורש ריבועי כדי להגיע לפתרון...

דיופנטוס... אינו מתקדם מעבר למשוואות מהמעלה השנייה, ואיננו יודעים אם הוא או מי מיורשיו... אי פעם דחפו... מעבר לנקודה זו.

דיופנטוס לא היה ידוע באירופה עד סוף המאה השש עשרה, התרגום הראשון היה עלוב על ידי Xylander שנעשה בשנת 1575. Bachet de Méziriac ... מתמטיקאי טוב נסבל לתקופתו, פרסם לאחר מכן (1621) תרגום חדש ... בליווי פירושים ארוכים, כעת מיותרים. תרגומו של באצ'ט הודפס לאחר מכן מחדש עם תצפיות והערות מאת פרמה.

לפני הגילוי והפרסום של Diophantus ... אלגברה כבר מצאה את דרכה לאירופה. לקראת סוף המאה החמש עשרה הופיעה בוונציה עבודה מאת... לוקאס פאציולוס על חשבון וגיאומטריה שבה צוינו הכללים היסודיים של האלגברה.

[ה] האירופים, לאחר שקיבלו אלגברה מהערבים, היו ברשותה מאה שנים לפני שעבודתו של דיופנטוס הייתה ידועה להם. עם זאת, הם לא התקדמו מעבר למשוואות של הדרגה הראשונה והשנייה.

בעבודתו של פאציולוס... הרזולוציה הכללית של משוואות מהמעלה השנייה... לא ניתנה. אנו מוצאים בעבודה זו כללים פשוטים, המתבטאים בפסוקים לטיניים גרועים, לפתרון כל מקרה מסוים לפי השילובים השונים של הסימנים של מונחי המשוואה, ואפילו כללים אלה חלים רק במקרה בו השורשים היו אמיתיים וחיוביים. שורשים שליליים עדיין נחשבו כחסרי משמעות ומיותרים.

הגיאומטריה היא באמת שהציעה לנו שימוש בכמויות שליליות, והיא מורכבת מאחד היתרונות הגדולים ביותר שנבעו מיישום האלגברה בגיאומטריה, צעד שאנו חייבים לדקארט.

בתקופה שלאחר מכן נחקר הפתרון של משוואות מהמעלה השלישית והגילוי למקרה מסוים נעשה בסופו של דבר על ידי... Scipio Ferreus (1515). ... טרטליה וקרדן שיכללו לאחר מכן את הפתרון של Ferreus והפכו אותו לכללי עבור כל המשוואות מהמעלה השלישית.

בתקופה זו, איטליה, שהייתה ערש האלגברה באירופה, הייתה עדיין כמעט המטפחת היחידה של המדע, ורק באמצע המאה השש-עשרה, בערך, החלו להופיע חיבורים על אלגברה בצרפת, גרמניה, מדינות אחרות.

העבודות של פלטייר ובוטיאו היו הראשונות שצרפת הפיקה במדע זה...

טרטליה פירט את פתרונו בפסוקים איטלקיים גרועים ביצירה המטפלת בשאלות והמצאות שונות שנדפסה ב-1546, יצירה שנהנית מההבחנה של היותה מהראשונים שטיפלו בביצורים מודרניים על ידי מעוזים.

קרדן פרסם את החיבור שלו ארס מגנה, או אַלגֶבּרָה... Cardan היה הראשון לתפוס כי משוואות היו כמה שורשים ולהבחין ביניהם חיובי ושלילי. אבל הוא ידוע במיוחד בכך שהעיר לראשונה את מה שנקרא מקרה בלתי ניתן לצמצוםשבו הביטוי של השורשים האמיתיים מופיע בצורה דמיונית. קרדן שכנע את עצמו מכמה מקרים מיוחדים שבהם למשוואה היו מחלקים רציונליים שהצורה המדומה לא מנעה מהשורשים להיות בעלי ערך ממשי. אבל נותר להוכיח שלא רק השורשים היו אמיתיים במקרה הבלתי ניתן לצמצום, אלא שאי אפשר היה ששלושתם יחד יהיו אמיתיים אלא במקרה זה. הוכחה זו סופקה לאחר מכן על ידי Vieta, ובמיוחד על ידי אלברט ז'ירארד, משיקולים הנוגעים לחתך המשולש של זווית.

[ה מקרה בלתי ניתן לצמצום של משוואות מדרגה שלישית... מציגה צורה חדשה של ביטויים אלגבריים אשר מצאו יישום נרחב בניתוח... היא מעוררת כל הזמן בירורים לא רווחיים במטרה לצמצם את הצורה הדמיונית לצורה ממשית ו... היא מציגה לפיכך באלגברה א בעיה שניתן להציב אותה באותה בסיס עם הבעיות המפורסמות של שכפול הקובייה וריבוע המעגל בגיאומטריה.

המתמטיקאים של התקופה הנדונה נהגו להציע זה לזה בעיות לפתרון. אלו... היו... אתגרים ציבוריים ושימשו לרגש ולשמירה על התסיסה ההכרחיה לעיסוק במדע. האתגרים... נמשכו עד תחילת המאה השמונה עשרה אירופה, ובאמת לא פסקו עד עליית האקדמיות שהגשימו את אותה מטרה... חלקן על ידי איחוד הידע של חבריהן השונים, חלקם על ידי יחסי המין שקיימו... ו... על ידי פרסום זיכרונותיהם, ששימשו להפצת התגליות והתצפיות החדשות...

ה אַלגֶבּרָהשל בומבלי מכיל לא רק את הגילוי של פרארי אלא גם הערות חשובות אחרות על משוואות מהמעלה השנייה והשלישית ובמיוחד על תורת הרדיקלים שבאמצעותה הצליח המחבר במספר מקרים לחלץ את שורשי הקובייה הדמיוניים של שני הבינומיים. של נוסחת המדרגה השלישית במקרה הבלתי ניתן לצמצום, כך למצוא תוצאה אמיתית לחלוטין... ההוכחה הישירה ביותר האפשרית למציאות של מין ביטוי זה.

הפתרון של משוואות מהמעלה השלישית והרביעית הושג במהירות. אבל המאמצים המוצלחים של מתמטיקאים במשך יותר ממאתיים שנה לא הצליחו להתגבר על קשיי משוואת התואר החמישי.

אולם המאמצים הללו רחוקים מלהיות לשווא. הם הולידו את המשפטים היפים הרבים... על היווצרות משוואות, על אופי וסימני השורשים, על הפיכת משוואה נתונה לאחרות שהשורשים עשויים להיווצר בהנאה משורשי השורש. המשוואה נתונה, ולבסוף, לשיקולים היפים הנוגעים למטאפיזיקה של רזולוציית המשוואות שממנה נבעה השיטה הישירה ביותר להגיע לפתרונן, במידת האפשר.

וייטה ודקארט ... הריוט ... והאדה ... היו הראשונים אחרי האיטלקים ... לשכלל את תורת המשוואות, ומאז זמנם אין כמעט מתמטיקאי חשוב שלא יישם את עצמו ...

הרצאה ו' על שימוש עקומות בפתרון בעיות[לַעֲרוֹך]

כל עוד האלגברה והגיאומטריה נסעו בדרכים נפרדות ההתקדמות שלהן הייתה איטית והיישומים שלהן מוגבלים. אבל כששני המדעים האלה הצטרפו לחברה, הם שאבו זה מזה חיוניות רעננה ואז צעדו קדימה בקצב מהיר לעבר שלמות. לדקארט אנו חייבים את יישום האלגברה לגיאומטריה, יישום אשר סיפק את המפתח לתגליות הגדולות ביותר בכל ענפי המתמטיקה.

השיטה... למציאת והדגמה של מאפיינים כלליים שונים של משוואות על ידי התחשבות בעקומות המייצגות אותן, היא סוג של יישום של גיאומטריה על אלגברה... [לשיטה זו יש יישומים מורחבים, והיא מסוגלת לפתור בקלות בעיות שהפתרון הישיר שלו יהיה קשה ביותר או אפילו בלתי אפשרי... [הנושא שלו... אינו נמצא בדרך כלל בעבודות יסוד על אלגברה.

ניתן לפתור משוואה בכל מידה באמצעות עקומה, שבה ה-abscissæ מייצגת את הכמות הלא ידועה של המשוואה, והאורדינאטים את הערכים שהאיבר השמאלי מניח עבור כל ערך של הכמות הלא ידועה . ... ניתן ליישם את השיטה הזו באופן כללי על כל המשוואות, תהא צורתן אשר תהא, ו... רק מחייבת אותן לפיתוח וסידור בהתאם לעצמות השונות של הכמות הלא ידועה.

[לַעֲרוֹך]

הרצאות על מתמטיקה יסודיתמהדורה 2. (1901) @GoogleBooks

בבעיית המוכר הנוסע, כדי ליצור מסלול אופטימלי סביב n ערים, אתה צריך לבחור את הטוב ביותר מבין (n-1)! אפשרויות המבוססות על זמן, עלות או אורך מסלול. בעיה זו כוללת קביעת מחזור המילטון באורך מינימלי. במקרים כאלה, יש לייצג את קבוצת כל הפתרונות האפשריים בצורה של עץ - גרף מחובר שאינו מכיל מחזורים או לולאות. שורש העץ מאחד את כל סט האפשרויות, וצמרות העץ הן תת-קבוצות של אפשרויות פתרון מסודרות חלקית.

מטרת השירות. באמצעות השירות תוכלו לבדוק את הפתרון שלכם או לקבל פתרון חדש לבעיית המוכר הנוסע בשתי שיטות: שיטת ענף וחיבור ושיטת הונגריה.

מודל מתמטי של בעיית איש המכירות הנודד

הבעיה המנוסחת היא בעיה של מספר שלם. תנו ל-x ij =1 אם הנוסע עובר מהעיר ה-i ל-j-th ו-x ij =0 אם זה לא המקרה.
פורמלית, אנו מציגים (n+1) עיר הממוקמת באותו מקום כמו העיר הראשונה, כלומר. המרחקים מערים (n+1) לכל עיר אחרת מלבד הראשונה שווים למרחקים מהעיר הראשונה. יתרה מכך, אם אתה יכול לעזוב רק את העיר הראשונה, אז אתה יכול להגיע רק לעיר (n+1).
הבה נציג משתנים שלמים נוספים השווים למספר הביקורים בעיר זו לאורך הדרך. u 1 =0, u n +1 =n. על מנת להימנע מנתיבים סגורים, עזבו את העיר הראשונה וחזרו אל (n+1), אנו מציגים הגבלות נוספות המקשרות בין המשתנים x ij והמשתנים u i (u i הם מספרים שלמים לא שליליים).

U i -u j +nx ij ≤ n-1, j=2..n+1, i=1..n, i≠j, עם i=1 j≠n+1
0≤u i ≤n, x in+1 =x i1, i=2..n

שיטות לפתרון בעיית המוכר הנוסע

שיטת branch and bound (האלגוריתם של ליטל או חיסול תת-מחזור). דוגמה לפתרון ענף ומאוגד;
שיטה הונגרית. דוגמה לפתרון בשיטה ההונגרית.

האלגוריתם של ליטל או חיסול תת-מחזור

פעולת צמצום לאורך שורות: בכל שורה של המטריצה, נמצא האלמנט המינימלי d min ומופחת מכל האלמנטים של השורה המתאימה. גבול תחתון: H=∑d min.
פעולת צמצום לפי עמודות: בכל עמודה של המטריצה, בחרו את האלמנט המינימלי d min והורידו אותו מכל האלמנטים של העמודה המתאימה. גבול תחתון: H=H+∑d min.
קבוע ההפחתה H הוא הגבול התחתון של קבוצת כל קווי המתאר המילטון הקבילים.
מציאת חזקות אפסים עבור מטריצה הניתנת על ידי שורות ועמודות. לשם כך, החלף זמנית את האפסים במטריצה בסימן "∞" ומצא את סכום האלמנטים המינימליים של השורה והעמודה התואמים לאפס זה.
בחר את הקשת (i,j) שעבורה דרגת אלמנט האפס מגיעה לערך המקסימלי.
קבוצת כל קווי המתאר המילטון מחולקת לשתי תת-קבוצות: תת-קבוצת קווי המתאר המילטון המכילה את הקשת (i,j) ואלה שאינן מכילות אותה (i*,j*). כדי לקבל מטריצה של קווי מתאר כולל קשת (i,j), חוצים את שורה i ואת העמודה j במטריצה. כדי למנוע היווצרות של קו מתאר שאינו המילטוני, החלף את האלמנט הסימטרי (j,i) בסימן "∞". ביטול קשת מושג על ידי החלפת האלמנט במטריצה ב-∞.
המטריצה של קווי המתאר המילטון מצטמצמת בחיפוש אחר קבועי ההפחתה H(i,j) ו-H(i*,j*) .
הגבולות התחתונים של תת-הקבוצה של קווי המתאר המילטון H(i,j) ו-H(i*,j*) מושווים. אם H(i,j)
אם כתוצאה מהסתעפות מתקבלת מטריצה (2x2), אזי נקבעים קו המתאר המילטון המתקבל על ידי הסתעפות ואורכו.
אורך קו המתאר המילטון מושווה לגבולות התחתונים של הענפים המשתלשלים. אם אורך קו המתאר אינו חורג מהגבולות התחתונים שלהם, הבעיה נפתרת. אחרת, מפותחים ענפים של תת-קבוצות עם גבול נמוך יותר מהקונטור המתקבל עד לקבלת מסלול באורך קצר יותר.

דוגמא. פתור את בעיית איש המכירות הנוסע עם מטריצה באמצעות האלגוריתם של ליטל

	1	2	3	4
1	-	5	8	7
2	5	-	6	15
3	8	6	-	10
4	7	15	10	-

פִּתָרוֹן. ניקח כמסלול שרירותי: X 0 = (1,2);(2,3);(3,4);(4,5);(5,1). ואז F(X 0) = 20 + 14 + 6 + 12 + 5 = 57
כדי לקבוע את הגבול התחתון של הסט, אנו משתמשים פעולת הפחתהאו הקטנת המטריצה שורה אחר שורה, שעבורה יש צורך למצוא את האלמנט המינימלי בכל שורה של מטריצה D: d i = min(j) d ij

אני י	1	2	3	4	5	ד i
1	M	20	18	12	8	8
2	5	M	14	7	11	5
3	12	18	M	6	11	6
4	11	17	11	M	12	11
5	5	5	5	5	M	5

לאחר מכן נפחית את d i מהאלמנטים של השורה המדוברת. בהקשר זה, במטריצה החדשה שהושגה יהיה לפחות אפס אחד בכל שורה.

אני י	1	2	3	4	5
1	M	12	10	4	0
2	0	M	9	2	6
3	6	12	M	0	5
4	0	6	0	M	1
5	0	0	0	0	M

אנו מבצעים את אותה פעולת הפחתה לאורך העמודות, עבורה אנו מוצאים את האלמנט המינימלי בכל עמודה:
d j = min(i) d ij

אני י	1	2	3	4	5
1	M	12	10	4	0
2	0	M	9	2	6
3	6	12	M	0	5
4	0	6	0	M	1
5	0	0	0	0	M
DJ	0	0	0	0	0

לאחר הפחתת האלמנטים המינימליים, נקבל מטריצה מופחתת לחלוטין, שבה נקראים הערכים d i ו-d j קבועי יציקה.

אני י	1	2	3	4	5
1	M	12	10	4	0
2	0	M	9	2	6
3	6	12	M	0	5
4	0	6	0	M	1
5	0	0	0	0	M

סכום קבועי ההפחתה קובע את הגבול התחתון של H: H = ∑d i + ∑d j = 8+5+6+11+5+0+0+0+0+0 = 35
האלמנטים של המטריצה d ij תואמים למרחק מנקודה i לנקודה j.
מכיוון שיש n ערים במטריצה, אז D היא מטריצה nxn עם אלמנטים לא שליליים d ij ≥ 0
כל מסלול תקף מייצג מחזור שבו המוכר הנוסע מבקר בעיר פעם אחת בלבד וחוזר לעיר המקורית.
אורך המסלול נקבע על ידי הביטוי: F(M k) = ∑d ij
יתרה מכך, כל שורה ועמודה נכללים במסלול רק פעם אחת עם האלמנט d ij .
שלב 1.
קביעת קצה ההסתעפות

אני י	1	2	3	4	5	ד i
1	M	12	10	4	0(5)	4
2	0(2)	M	9	2	6	2
3	6	12	M	0(5)	5	5
4	0(0)	6	0(0)	M	1	0
5	0(0)	0(6)	0(0)	0(0)	M	0
DJ	0	6	0	0	1	0

d(1,5) = 4 + 1 = 5; d(2,1) = 2 + 0 = 2; d(3,4) = 5 + 0 = 5; d(4,1) = 0 + 0 = 0; d(4,3) = 0 + 0 = 0; d(5,1) = 0 + 0 = 0; d(5,2) = 0 + 6 = 6; d(5,3) = 0 + 0 = 0; d(5,4) = 0 + 0 = 0;
הסכום הגדול ביותר של קבועי ההפחתה הוא (0 + 6) = 6 עבור הקצה (5,2), לכן, הקבוצה מחולקת לשתי תת-קבוצות (5,2) ו-(5*,2*).
אי הכללת קצה(5.2) מתבצע על ידי החלפת האלמנט d 52 = 0 ב-M, ולאחר מכן אנו מבצעים את ההפחתה הבאה של מטריצת המרחק עבור תת-הקבוצה המתקבלת (5*,2*), כתוצאה מכך נקבל מטריצה מופחתת.

אני י	1	2	3	4	5	ד i
1	M	12	10	4	0	0
2	0	M	9	2	6	0
3	6	12	M	0	5	0
4	0	6	0	M	1	0
5	0	M	0	0	M	0
DJ	0	6	0	0	0	6

הגבול התחתון למחזורי המילטון של תת-קבוצה זו הוא: H(5*,2*) = 35 + 6 = 41
הפעלת יתרון(5.2) מתבצע על ידי ביטול כל האלמנטים של השורה החמישית והעמודה השנייה, שבה האלמנט d 25 מוחלף ב-M כדי לבטל את היווצרותו של מחזור לא המילטוני.

אני י	1	3	4	5	ד i
1	M	10	4	0	0
2	0	9	2	M	0
3	6	M	0	5	0
4	0	0	M	1	0
DJ	0	0	0	0	0

הגבול התחתון של תת-הקבוצה (5,2) שווה ל: H(5,2) = 35 + 0 = 35 ≤ 41
מכיוון שהגבול התחתון של תת-קבוצה זו (5,2) קטן מתת-הקבוצה (5*,2*), אנו כוללים קצה (5,2) במסלול עם גבול חדש H = 35
שלב 2.
קביעת קצה ההסתעפותומחלקים את כל קבוצת המסלולים ביחס לקצה זה לשתי תת-קבוצות (i,j) ו-(i*,j*).
לשם כך, עבור כל תאי המטריצה עם אפס אלמנטים, נחליף את האפסים בזה אחר זה ב-M (אינסוף) וקובעים עבורם את סכום קבועי ההפחתה המתקבלים, הם ניתנים בסוגריים.

אני י	1	3	4	5	ד i
1	M	10	4	0(5)	4
2	0(2)	9	2	M	2
3	6	M	0(7)	5	5
4	0(0)	0(9)	M	1	0
DJ	0	9	2	1	0

d(1,5) = 4 + 1 = 5; d(2,1) = 2 + 0 = 2; d(3,4) = 5 + 2 = 7; d(4,1) = 0 + 0 = 0; d(4,3) = 0 + 9 = 9;
הסכום הגדול ביותר של קבועי ההפחתה הוא (0 + 9) = 9 עבור הקצה (4,3), לכן, הקבוצה מחולקת לשתי תת-קבוצות (4,3) ו-(4*,3*).
אי הכללת קצה(4.3) מתבצע על ידי החלפת האלמנט d 43 = 0 ב-M, לאחר מכן אנו מבצעים את ההפחתה הבאה של מטריצת המרחק עבור תת-הקבוצה המתקבלת (4*,3*), כתוצאה מכך נקבל מטריצה מופחתת.

אני י	1	3	4	5	ד i
1	M	10	4	0	0
2	0	9	2	M	0
3	6	M	0	5	0
4	0	M	M	1	0
DJ	0	9	0	0	9

הגבול התחתון למחזורי המילטון של תת-קבוצה זו הוא: H(4*,3*) = 35 + 9 = 44
הפעלת יתרון(4.3) מתבצע על ידי ביטול כל האלמנטים של השורה הרביעית והעמודה השלישית, שבהם האלמנט d 34 מוחלף ב-M כדי לבטל את היווצרותו של מחזור לא המילטוני.

לאחר פעולת ההפחתה, המטריצה המוקטנת תיראה כך:

אני י	1	4	5	ד i
1	M	4	0	0
2	0	2	M	0
3	6	M	5	5
DJ	0	2	0	7

סכום קבועי ההפחתה של המטריצה המופחתת: ∑d i + ∑d j = 7
הגבול התחתון של תת-הקבוצה (4,3) שווה ל: H(4,3) = 35 + 7 = 42 ≤ 44
מאז 42 > 41, אנו לא כוללים את קבוצת המשנה (5,2) להסתעפות נוספת.
אנו חוזרים לתכנית X 1 הקודמת.
תוכנית X 1.

אני י	1	2	3	4	5
1	M	12	10	4	0
2	0	M	9	2	6
3	6	12	M	0	5
4	0	6	0	M	1
5	0	M	0	0	M

פעולת צמצום.

אני י	1	2	3	4	5
1	M	6	10	4	0
2	0	M	9	2	6
3	6	6	M	0	5
4	0	0	0	M	1
5	0	M	0	0	M

שלב 1.
קביעת קצה ההסתעפותומחלקים את כל קבוצת המסלולים ביחס לקצה זה לשתי תת-קבוצות (i,j) ו-(i*,j*).
לשם כך, עבור כל תאי המטריצה עם אפס אלמנטים, נחליף את האפסים בזה אחר זה ב-M (אינסוף) וקובעים עבורם את סכום קבועי ההפחתה המתקבלים, הם ניתנים בסוגריים.

אני י	1	2	3	4	5	ד i
1	M	6	10	4	0(5)	4
2	0(2)	M	9	2	6	2
3	6	6	M	0(5)	5	5
4	0(0)	0(6)	0(0)	M	1	0
5	0(0)	M	0(0)	0(0)	M	0
DJ	0	6	0	0	1	0

d(1,5) = 4 + 1 = 5; d(2,1) = 2 + 0 = 2; d(3,4) = 5 + 0 = 5; d(4,1) = 0 + 0 = 0; d(4,2) = 0 + 6 = 6; d(4,3) = 0 + 0 = 0; d(5,1) = 0 + 0 = 0; d(5,3) = 0 + 0 = 0; d(5,4) = 0 + 0 = 0;
הסכום הגדול ביותר של קבועי ההפחתה הוא (0 + 6) = 6 עבור הקצה (4,2), לכן, הקבוצה מחולקת לשתי תת-קבוצות (4,2) ו-(4*,2*).
אי הכללת קצה(4.2) מתבצע על ידי החלפת האלמנט d 42 = 0 ב-M, ולאחר מכן אנו מבצעים את ההפחתה הבאה של מטריצת המרחק עבור תת-הקבוצה המתקבלת (4*,2*), כתוצאה מכך נקבל מטריצה מופחתת.

אני י	1	2	3	4	5	ד i
1	M	6	10	4	0	0
2	0	M	9	2	6	0
3	6	6	M	0	5	0
4	0	M	0	M	1	0
5	0	M	0	0	M	0
DJ	0	6	0	0	0	6

הגבול התחתון למחזורי המילטון של תת-קבוצה זו הוא: H(4*,2*) = 41 + 6 = 47
הפעלת יתרון(4.2) מתבצע על ידי ביטול כל האלמנטים של השורה הרביעית והעמודה השנייה, שבה האלמנט d 24 מוחלף ב-M כדי לבטל את היווצרותו של מחזור לא המילטוני.
התוצאה היא מטריצה מופחתת נוספת (4 x 4), הכפופה לפעולת ההפחתה.
לאחר פעולת ההפחתה, המטריצה המוקטנת תיראה כך:

אני י	1	3	4	5	ד i
1	M	10	4	0	0
2	0	9	M	6	0
3	6	M	0	5	0
5	0	0	0	M	0
DJ	0	0	0	0	0

סכום קבועי ההפחתה של המטריצה המופחתת: ∑d i + ∑d j = 0
הגבול התחתון של תת-הקבוצה (4,2) שווה ל: H(4,2) = 41 + 0 = 41 ≤ 47
מכיוון שהגבול התחתון של תת-קבוצה זו (4,2) קטן מתת-הקבוצה (4*,2*), אנו כוללים קצה (4,2) במסלול עם גבול חדש H = 41
שלב 2.
קביעת קצה ההסתעפותומחלקים את כל קבוצת המסלולים ביחס לקצה זה לשתי תת-קבוצות (i,j) ו-(i*,j*).
לשם כך, עבור כל תאי המטריצה עם אפס אלמנטים, נחליף את האפסים בזה אחר זה ב-M (אינסוף) וקובעים עבורם את סכום קבועי ההפחתה המתקבלים, הם ניתנים בסוגריים.

אני י	1	3	4	5	ד i
1	M	10	4	0(9)	4
2	0(6)	9	M	6	6
3	6	M	0(5)	5	5
5	0(0)	0(9)	0(0)	M	0
DJ	0	9	0	5	0

d(1,5) = 4 + 5 = 9; d(2,1) = 6 + 0 = 6; d(3,4) = 5 + 0 = 5; d(5,1) = 0 + 0 = 0; d(5,3) = 0 + 9 = 9; d(5,4) = 0 + 0 = 0;
הסכום הגדול ביותר של קבועי ההפחתה הוא (4 + 5) = 9 עבור הקצה (1,5), לכן, הקבוצה מחולקת לשתי תת-קבוצות (1,5) ו-(1*,5*).
אי הכללת קצה(1.5) מתבצע על ידי החלפת האלמנט d 15 = 0 ב-M, ולאחר מכן אנו מבצעים את ההפחתה הבאה של מטריצת המרחק עבור תת-הקבוצה המתקבלת (1*,5*), כתוצאה מכך נקבל מטריצה מופחתת.

אני י	1	3	4	5	ד i
1	M	10	4	M	4
2	0	9	M	6	0
3	6	M	0	5	0
5	0	0	0	M	0
DJ	0	0	0	5	9

הגבול התחתון למחזורי המילטון של תת-קבוצה זו הוא: H(1*,5*) = 41 + 9 = 50
הפעלת יתרון(1.5) מתבצע על ידי ביטול כל האלמנטים של השורה הראשונה והעמודה החמישית, שבהם האלמנט d 51 מוחלף ב-M כדי לבטל את היווצרותו של מחזור לא המילטוני.
כתוצאה מכך, אנו מקבלים מטריצה מופחתת נוספת (3 x 3), אשר כפופה לפעולת ההפחתה.
לאחר פעולת ההפחתה, המטריצה המוקטנת תיראה כך:

אני י	1	3	4	ד i
2	0	9	M	0
3	6	M	0	0
5	M	0	0	0
DJ	0	0	0	0

סכום קבועי ההפחתה של המטריצה המופחתת: ∑d i + ∑d j = 0
הגבול התחתון של תת-הקבוצה (1,5) שווה ל: H(1,5) = 41 + 0 = 41 ≤ 50
מכיוון שהגבול התחתון של תת-קבוצה זו (1,5) קטן מתת-הקבוצה (1*,5*), אנו כוללים קצה (1,5) במסלול עם גבול חדש H = 41
שלב 3.
קביעת קצה ההסתעפותומחלקים את כל קבוצת המסלולים ביחס לקצה זה לשתי תת-קבוצות (i,j) ו-(i*,j*).
לשם כך, עבור כל תאי המטריצה עם אפס אלמנטים, נחליף את האפסים בזה אחר זה ב-M (אינסוף) וקובעים עבורם את סכום קבועי ההפחתה המתקבלים, הם ניתנים בסוגריים.

אני י	1	3	4	ד i
2	0(15)	9	M	9
3	6	M	0(6)	6
5	M	0(9)	0(0)	0
DJ	6	9	0	0

d(2,1) = 9 + 6 = 15; d(3,4) = 6 + 0 = 6; d(5,3) = 0 + 9 = 9; d(5,4) = 0 + 0 = 0;
הסכום הגדול ביותר של קבועי ההפחתה הוא (9 + 6) = 15 עבור הקצה (2,1), לכן, הקבוצה מחולקת לשתי תת-קבוצות (2,1) ו-(2*,1*).
אי הכללת קצה(2.1) מתבצע על ידי החלפת האלמנט d 21 = 0 ב-M, ולאחר מכן אנו מבצעים את ההפחתה הבאה של מטריצת המרחק עבור תת-הקבוצה המתקבלת (2*,1*), כתוצאה מכך נקבל מטריצה מופחתת.

אני י	1	3	4	ד i
2	M	9	M	9
3	6	M	0	0
5	M	0	0	0
DJ	6	0	0	15

הגבול התחתון למחזורי המילטון של תת-קבוצה זו הוא: H(2*,1*) = 41 + 15 = 56
הפעלת יתרון(2.1) מתבצע על ידי ביטול כל האלמנטים של השורה השנייה והעמודה הראשונה, שבה האלמנט d 12 מוחלף ב-M כדי לבטל את היווצרותו של מחזור לא המילטוני.
כתוצאה מכך, אנו מקבלים מטריצה מופחתת נוספת (2 x 2), אשר כפופה לפעולת ההפחתה.
לאחר פעולת ההפחתה, המטריצה המוקטנת תיראה כך:

אני י	3	4	ד i
3	M	0	0
5	0	0	0
DJ	0	0	0

סכום קבועי ההפחתה של המטריצה המופחתת:
∑d i + ∑d j = 0
הגבול התחתון של תת-הקבוצה (2,1) שווה ל: H(2,1) = 41 + 0 = 41 ≤ 56
מכיוון שהגבול התחתון של תת-קבוצה זו (2,1) קטן מתת-הקבוצה (2*,1*), אנו כוללים את הקצה (2,1) במסלול עם גבול חדש H = 41.
בהתאם למטריצה זו, אנו כוללים קצוות (3,4) ו-(5,3) בתוואי המילטון.
כתוצאה מכך, לאורך העץ המסועף של מחזור המילטון נוצרים הקצוות:
(4,2), (2,1), (1,5), (5,3), (3,4). אורך המסלול הוא F(Mk) = 41

עץ החלטות.


							1


	(5,2), H=41											(5,2)


(4,2), H=47			(4,2)								(4,3), H=44		(4,3)


	(1,5), H=50				(1,5)


		(2,1), H=56							(2,1)


						(3,4)				(3,4), H=41


				(5,3)				(5,3), H=41