Тригонометрический круг — один из основных элементов геометрии для решения уравнений с синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом.
Каково определение данного термина, как строить данный круг, как определить четверть в тригонометрии, как узнать углы в построенном тригонометрическом круге - об этом и многом другом расскажем далее.
Тригонометрическая окружность
Тригонометрическим видом числовой окружности в математике является круг, имеющий одинарный радиус с центром в начале координатной плоскости. Как правило, она образована пространством из формул синуса с косинусом, тангенсом и котангенсом на системе координат.
Назначение такой сферы с n-мерным пространством в том, что благодаря ей могут быть описаны тригонометрические функции. Выглядит она просто: круг, внутри которого находится система координат и множественные прямоугольного вида треугольники, образованные из этой окружности по тригонометрическим функциям.
Что такое синус, косинус, тангенс, котангенс в прямоугольном треугольнике
Прямоугольный вид треугольника - это тот, у которого один из углов равен 90°. Он образован катетами и гипотенузой со всеми значениями тригонометрии. Катеты — две стороны треугольника, которые прилегают к углу 90°, а третья — гипотенуза, она всегда длиннее катетов.
Синусом называется отношение одного из катетов к гипотенузе, косинусом — отношение другого катета к ней, а тангенсом — отношение двух катетов. Отношение символизирует деление. Также тангенсом является деление острого угла на синус с косинусом. Котангенсом является противоположное тангенсу отношение.
Формулы последних двух отношений выглядят следующим образом: tg(a) = sin(a) / cos(a) и ctg(a) = cos(a) / sin(a).
Построение единичной окружности
Построение единичной окружности сводится к ее прорисовке с единичным радиусом в центре системы координат. Затем для построения нужно отсчитать углы и, двигаясь против часовой стрелки, обойти по целому кругу, проставляя соответствующие им линии координаты.
Начинается построение после черчения круга и установки точки в его центре с размещения системы координат ОХ. Точкой О сверху оси координат является синус, а Х — косинус. Соответственно они являются абсциссой и ординатой. Затем нужно провести измерения ∠. Они проводятся градусами и радианами.
Сделать перевод этих показателей просто — полный круг равен двум пи радиан. Угол от нуля против часовой стрелки идет со знаком +, а ∠ от 0 по часовой стрелке со знаком -. Положительные и отрицательные значения синуса с косинусом повторяются каждый оборот круга.
Углы на тригонометрическом круге
Для того, чтобы освоить теорию тригонометрической окружности, нужно понять, как считаются ∠ на ней, и в чем они измеряются. Считаются они очень просто.
Окружность делится системой координат на четыре части. Каждая часть образует ∠ 90°. Половина от этих углов равняется 45 градусам. Соответственно две доли окружности равняются 180°, а три — 360°. Как пользоваться этой информацией?
Если требуется решить задачу по нахождению ∠, прибегают к теоремам о треугольниках и основным Пифагоровым законам, связанных с ними.
Измеряются углы в радианах:
- от 0 до 90° — значения углов от 0 до ∏/2;
- от 90 до 180° — значения углов от ∏/2 до ∏;
- от 180 до 270° — от ∏ до 3*∏/2;
- последняя четверть от 270 0 до 360 0 - значения от 3*∏/2 до 2*∏.
Чтобы узнать конкретное измерение, перевести радианы в градусы или наоборот, следует прибегнуть к таблице-шпаргалке.
Перевод углов из градусов в радианы
Углы возможно измерить в градусах либо радианах. Требуется осознавать связь между обоими значениями. Эта взаимосвязь выражена в тригонометрии с помощью специальной формулы. Благодаря пониманию связи, можно научиться оперативным образом управлять углами и переходить от градусов к радианам обратно.
Для того чтобы точно узнать, чему равен один радиан, можно воспользоваться следующей формулой:
1 рад. = 180 / ∏ = 180 / 3,1416 = 57,2956
В конечном итоге, 1 радиан равен 57°, а в 1 градусе 0,0175 радиан:
1 градус = (∏ /180) рад. = 3,1416 / 180 рад. = 0,0175 рад.
Косинус, синус, тангенс, котангенс на тригонометрической окружности
Косинус с синусом, тангенсом и котангенсом на тригонометрической окружности — функции углов альфа от 0 до 360 градусов. Каждая функция обладает положительным или отрицательным значением в зависимости от того, какая величина у угла. Они символизируют отношения к прямоугольным треугольникам, образованным в круге.
Тригонометрия, как наука, зародилась на Древнем Востоке. Первые тригонометрические соотношения были выведены астрономами для создания точного календаря и ориентированию по звездам. Данные вычисления относились к сферической тригонометрии, в то время как в школьном курсе изучают соотношения сторон и угла плоского треугольника.
Тригонометрия – это раздел математики, занимающийся свойствами тригонометрических функций и зависимостью между сторонами и углами треугольников.
В период расцвета культуры и науки I тысячелетия нашей эры знания распространились с Древнего Востока в Грецию. Но основные открытия тригонометрии – это заслуга мужей арабского халифата. В частности, туркменский ученый аль-Маразви ввел такие функции, как тангенс и котангенс, составил первые таблицы значений для синусов, тангенсов и котангенсов. Понятие синуса и косинуса введены индийскими учеными. Тригонометрии посвящено немало внимания в трудах таких великих деятелей древности, как Евклида, Архимеда и Эратосфена.
Основные величины тригонометрии
Основные тригонометрические функции числового аргумента – это синус, косинус, тангенс и котангенс. Каждая из них имеет свой график: синусоида, косинусоида, тангенсоида и котангенсоида.
В основе формул для расчета значений указанных величин лежит теорема Пифагора. Школьникам она больше известна в формулировке: «Пифагоровы штаны, во все стороны равны», так как доказательство приводится на примере равнобедренного прямоугольного треугольника.
Синус, косинус и другие зависимости устанавливают связь между острыми углами и сторонами любого прямоугольного треугольника. Приведем формулы для расчета этих величин для угла A и проследим взаимосвязи тригонометрических функций:
Как видно, tg и ctg являются обратными функциями. Если представить катет a как произведение sin A и гипотенузы с, а катет b в виде cos A * c, то получим следующие формулы для тангенса и котангенса:
Тригонометрический круг
Графически соотношение упомянутых величин можно представить следующим образом:
Окружность, в данном случае, представляет собой все возможные значения угла α — от 0° до 360°. Как видно из рисунка, каждая функция принимает отрицательное или положительное значение в зависимости от величины угла. Например, sin α будет со знаком «+», если α принадлежит I и II четверти окружности, то есть, находится в промежутке от 0° до 180°. При α от 180° до 360° (III и IV четверти) sin α может быть только отрицательным значением.
Попробуем построить тригонометрические таблицы для конкретных углов и узнать значение величин.
Значения α равные 30°, 45°, 60°, 90°, 180° и так далее – называют частными случаями. Значения тригонометрических функций для них просчитаны и представлены в виде специальных таблиц.
Данные углы выбраны отнюдь не случайно. Обозначение π в таблицах стоит для радиан. Рад — это угол, при котором длина дуги окружности соответствует ее радиусу. Данная величина была введена для того, чтобы установить универсальную зависимость, при расчетах в радианах не имеет значение действительная длина радиуса в см.
Углы в таблицах для тригонометрических функций соответствуют значениям радиан:
Итак, не трудно догадаться, что 2π – это полная окружность или 360°.
Свойства тригонометрических функций: синус и косинус
Для того, чтобы рассмотреть и сравнить основные свойства синуса и косинуса, тангенса и котангенса, необходимо начертить их функции. Сделать это можно в виде кривой, расположенной в двумерной системе координат.
Рассмотри сравнительную таблицу свойств для синусоиды и косинусоиды:
Синусоида | Косинусоида |
---|---|
y = sin x | y = cos x |
ОДЗ [-1; 1] | ОДЗ [-1; 1] |
sin x = 0, при x = πk, где k ϵ Z | cos x = 0, при x = π/2 + πk, где k ϵ Z |
sin x = 1, при x = π/2 + 2πk, где k ϵ Z | cos x = 1, при x = 2πk, где k ϵ Z |
sin x = - 1, при x = 3π/2 + 2πk, где k ϵ Z | cos x = - 1, при x = π + 2πk, где k ϵ Z |
sin (-x) = - sin x, т. е. функция нечетная | cos (-x) = cos x, т. е. функция четная |
функция периодическая, наименьший период - 2π | |
sin x › 0, при x принадлежащем I и II четвертям или от 0° до 180° (2πk, π + 2πk) | cos x › 0, при x принадлежащем I и IV четвертям или от 270° до 90° (- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk) |
sin x ‹ 0, при x принадлежащем III и IV четвертям или от 180° до 360° (π + 2πk, 2π + 2πk) | cos x ‹ 0, при x принадлежащем II и III четвертям или от 90° до 270° (π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk) |
возрастает на промежутке [- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk] | возрастает на промежутке [-π + 2πk, 2πk] |
убывает на промежутках [ π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk] | убывает на промежутках |
производная (sin x)’ = cos x | производная (cos x)’ = - sin x |
Определить является ли функция четной или нет очень просто. Достаточно представить тригонометрический круг со знаками тригонометрических величин и мысленно «сложить» график относительно оси OX. Если знаки совпадают, функция четная, в противном случае — нечетная.
Введение радиан и перечисление основных свойств синусоиды и косинусоиды позволяют привести следующую закономерность:
Убедиться в верности формулы очень просто. Например, для x = π/2 синус равен 1, как и косинус x = 0. Проверку можно осуществить обративших к таблицам или проследив кривые функций для заданных значений.
Свойства тангенсоиды и котангенсоиды
Графики функций тангенса и котангенса значительно отличаются от синусоиды и косинусоиды. Величины tg и ctg являются обратными друг другу.
- Y = tg x.
- Тангенсоида стремится к значениям y при x = π/2 + πk, но никогда не достигает их.
- Наименьший положительный период тангенсоиды равен π.
- Tg (- x) = — tg x, т. е. функция нечетная.
- Tg x = 0, при x = πk.
- Функция является возрастающей.
- Tg x › 0, при x ϵ (πk, π/2 + πk).
- Tg x ‹ 0, при x ϵ (— π/2 + πk, πk).
- Производная (tg x)’ = 1/cos 2 x .
Рассмотрим графическое изображение котангенсоиды ниже по тексту.
Основные свойства котангенсоиды:
- Y = ctg x.
- В отличие от функций синуса и косинуса, в тангенсоиде Y может принимать значения множества всех действительных чисел.
- Котангенсоида стремится к значениям y при x = πk, но никогда не достигает их.
- Наименьший положительный период котангенсоиды равен π.
- Ctg (- x) = — ctg x, т. е. функция нечетная.
- Ctg x = 0, при x = π/2 + πk.
- Функция является убывающей.
- Ctg x › 0, при x ϵ (πk, π/2 + πk).
- Ctg x ‹ 0, при x ϵ (π/2 + πk, πk).
- Производная (ctg x)’ = — 1/sin 2 x Исправить
Занятие №1
Тригонометрические функции любого аргумента.
Определение и свойства синуса, косинуса, тангенса и котангенса.
Радианная мера угла.
Отметим на оси Ох от начала координат точку А и проведем через нее окружность с центром в точке О. Радиус ОА будем называть начальным радиусом .
Угол Р (ОМ; ОЕ) можно описать как получившийся в результате вращения вокруг начала координат луча с началом в точке О от положения ОМ - начального до положения ОЕ - конечного. Это вращение может происходить или против часовой стрелки или по часовой стрелке, причем
а) либо на неполный оборот,
б) либо на целое число полных оборотов;
в) либо на целое число полных оборотов и неполный оборот.
Меры углов, ориентированных против часовой стрелки, считаются положительными, а по часовой стрелки _отрицательными
Будем считать равными углами такие углы, для которых при совмещении каким либо образом их начальных лучей совмещаются и конечные лучи, причем движение от начального луча к конечному осуществляется в одну и ту же сторону на одно и то же количество полных и неполных оборотов вокруг точки О.
Нулевые углы считаются равными.
Свойства мер углов:
Существует угол, мера которого равна 1 - единица измерения углов. Равные углы имеют равные меры. Мера суммы двух углов равна сумме мер углов. Мера нулевого угла равна нулю.Наиболее распространенные меры углов - градусная и радианная.
Единицей измерения углов в градусной мере является угол величины в один градус - 1/180 часть развернутого угла. Из курса геометрии известно, что мера угла в градусах выражается числом от 01.01.01 . что касается угла поворота, то он может выражаться в градусах каким угодно действительным числом от -∞ до + ∞.
В качестве окружности с центром в начале координат мы будем брать окружность единичного радиуса, обозначая точки ее пересечения с координатными осями A (1;0), B (0;1), C (-1;0), D (0;-1). В качестве начального угла у рассматриваемых углов будет браться луч ОА.
Координатные оси абсцисс и ординат взаимно перпендикулярны и разбивают плоскость на четыре координатные четверти: I , II , III , IV (см. рисунок).
В зависимости от того, в какой координатной четверти окажется радиус ОМ, угол α будет так же углом этой четверти.
Так, если 00< α <900 , то угол α – угол первой четверти;
Если 900< α <1800 , то угол α – угол второй четверти;
Если 1800< α <2700 , то угол α – угол третьей четверти;
Если 2700< α <3600 , то угол α – угол четвертой четверти.
Очевидно, что при прибавлении к углу целого числа оборотов получается угол той же четверти.
Например, угол 4300 является углом I – ой четверти, так как 4300 = 3600 + 700 = 700;
Угол 9200 является углом III -ей четверти, так как 9200 = 3600 ·2 + 2000 = 2000
(т. е. число целых оборотов можно не учитывать!)
Углы 00, ± 900 , ± 1800, ± 2700, ± 3600 – не относятся ни к какой четверти .
Давайте определим, углом какой четверти является угол α , если:
α =2830 (IV ) α = 1900 (III ) α =1000 (II ) α = -200 (IV ч –отрицательное направление)
А теперь сами:
α = 1790 α = 3250 α =8000 α = -1200
B курсе геометрии были определены синус, косинус, тангенс и котангенс угла α при
00 ≤ α ≤ 1800 . Теперь мы рассмотрим эти определения на случай произвольного угла α.
font-size:12.0pt;line-height:115%">Пусть при повороте около точки О на угол α начальный радиус ОА переходит в радиус ОМ.
Синусом угла α называется отношение ординаты точки М к длине радиуса, т. е.
Косинусом угла α называется отношение абсциссы точки М к длине радиуса, т. е.
Тангенсом угла α называется отношение ординаты точки М к ее абсциссе, т. е.
Котангенсом угла α называется отношение абсциссы точки М к ее ординате, т. е.
Рассмотрим примеры вычисления тригонометрических функций с помощью таблиц значений некоторых углов. Прочерки сделаны в том случае, когда выражение не имеет смысла.
α (град) | 00 | 300 | 450 | 600 | 900 | 1800 | 2700 | 3600 |
(рад) | 0 | π | 2π |
|||||
sin α | ||||||||
cos α | ||||||||
tg α | ||||||||
ctg α |
Пример №1. Найти sin300; cos450; tg600.
Решение: а) находим в столбике таблицы sinα и в строчке 300, на пересечении столбца и строчки находим значение sin 300- это число . Пишут так: sin 300 =
б) находим в столбике таблицы cosα и в строчке 450, на пересечении столбца и строчки находим значение cos 450 - это число . Пишут так: cos 450 =
в) находим в столбике таблицы tgα и в строчке 600, на пересечении столбца и строчки находим значение tg 600- это число EN-US style="font-size:12.0pt;line-height:115%"">tg 600 =font-size:12.0pt;line-height:115%">Пример №2
Вычислить а) 2с os 600 + EN-US" style="font-size: 12.0pt;line-height:115%">cos 300 = 2·font-size:12.0pt;line-height:115%"> б)3 tg 450 · tg 600 = 3·1·https://pandia.ru/text/79/454/images/image017_6.gif" width="24" height="24 src=">
Вычислите самостоятельно : а) 5 sin 300 - ctg 450 б) 2 sin 300 + 6 cos 600 – 4 tg 450
в ) 4tg 600·sin 600 в ) 2cossin 900 + 5tg 1800
Рассмотрим некоторые свойства тригонометрических функций.
Выясним какие знаки имеют синус, косинус, тангенс и котангенс в каждой из координатных четвертей.
Пусть при повороте радиуса ОА, равного R , на угол α , точка А перешла в точку М с координатами х и у. Так как (R = 1), то знак зависит от знака у.
В I и II четвертях у>0, а в II и IV четвертях – у <0.
Знак зависит от х, так как , то для углов I и IV четвертях – x >0, а во
II и III четвертях x <0.
Так как ; , то в I и III четвертях и имеют знак «+», а во II и IV четвертях они имеют знак «минус».
Пример 1.
Найти радианную меру угла равного а) 40° , б)120° , в)105°
а) 40° = 40·π / 180 = 2π/9
б) 120° = 120·π/180 = 2π/3
в) 105° = 105·π/180 = 7π/12
Пример 2.
Найти градусную меру угла выраженного в радианах а) π/6 , б) π/9, в) 2·π/3
а) π/6 = 180°/6 = 30°
б) π/9 = 180°/9 = 20°
в) 2π/3 = 2·180°/6 = 120°
Определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса
Синус острого угла t прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего катета к гипотенузе (рис.1):
Косинус острого угла t прямоугольного треугольника равен отношению прилежащего катета к гипотенузе (рис.1):
Эти определения относятся к прямоугольному треугольнику и являются частными случаями тех определений, которые представлены в данном разделе.
Поместим тот же прямоугольный треугольник в числовую окружность (рис.2).
Мы видим, что катет b равен определенной величине y на оси Y (оси ординат), катет а равен определенной величине x на оси X (оси абсцисс). А гипотенуза с равна радиусу окружности (R).
Таким образом, наши формулы обретают иной вид.
Так как b = y , a = x , c = R, то:
y x
sin t = -- , cos t = --.
R R
Кстати, тогда иной вид обретают, естественно, и формулы тангенса и котангенса.
Так как tg t = b/a, ctg t = a/b, то, верны и другие уравнения:
tg t = y /x ,
ctg = x /y .
Но вернемся к синусу и косинусу. Мы имеем дело с числовой окружностью, в которой радиус равен 1. Значит, получается:
y
sin t = -- = y
,
1
x
cos t = -- = x
.
1
Так мы приходим к третьему, более простому виду тригонометрических формул.
Эти формулы применимы не только к острому, но и к любому другому углу (тупому или развернутому).
Определения и формулы cos t, sin t, tg t, ctg t.
Из формул тангенса и котангенса следует еще одна формула:
Уравнения числовой окружности.
Знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса в четвертях окружности:
1-я четверть | 2-я четверть | 3-я четверть | 4-я четверть | |
cos t | + | – | – | + |
sin t | + | + | – | – |
tg t, ctg t | + | – | + | – |
Косинус и синус основных точек числовой окружности:
Как запомнить значения косинусов и синусов основных точек числовой окружности.
Прежде всего надо знать, что в каждой паре чисел значения косинуса стоят первыми, значения синуса – вторыми.
1) Обратите внимание: при всем множестве точек числовой окружности мы имеем дело лишь с пятью числами (в модуле):
1 √2 √3
0; -; --; --; 1.
2 2 2
Сделайте для себя это «открытие» - и вы снимете психологический страх перед обилием чисел: их на самом деле всего-то пять.
2) Начнем с целых чисел 0 и 1. Они находятся только на осях координат.
Не надо учить наизусть, где, к примеру, косинус в модуле имеет единицу, а где 0.
На концах оси косинусов (оси х ), разумеется, косинусы равны модулю 1 , а синусы равны 0.
На концах оси синусов (оси у ) синусы равны модулю 1 , а косинусы равны 0.
Теперь о знаках. Ноль знака не имеет. Что касается 1 – тут просто надо вспомнить самую простую вещь: из курса 7 класса вы знаете, что на оси х справа от центра координатной плоскости – положительные числа, слева – отрицательные; на оси у вверх от центра идут положительные числа, вниз – отрицательные. И тогда вы не ошибетесь со знаком 1.
3) Теперь перейдем к дробным значениям.
Во всех знаменателях дробей – одно и то же число 2. Уже не ошибемся, что писать в знаменателе.
В серединах четвертей косинус и синус имеют абсолютно одинаковое значение по модулю: √2/2. В каком случае они со знаком плюс или минус – см.таблицу выше. Но вряд ли вам нужна такая таблица: вы знаете это из того же курса 7 класса.
Все ближайшие к оси х точки имеют абсолютно одинаковые по модулю значения косинуса и синуса: (√3/2; 1/2).
Значения всех ближайших к оси у точек тоже абсолютно идентичны по модулю – причем в них те же числа, только они «поменялись» местами: (1/2; √3/2).
Теперь о знаках – тут свое интересное чередование (хотя со знаками, полагаем, вы должны легко разобраться и так).
Если в первой четверти значения и косинуса, и синуса со знаком плюс, то в диаметрально противоположной (третьей) они со знаком минус.
Если во второй четверти со знаком минус только косинусы, то в диаметрально противоположной (четвертой) – только синусы.
Осталось только напомнить, что в каждом сочетании значений косинуса и синуса первое число – это значение косинуса, второе число – значение синуса.
Обратите внимание еще на одну закономерность: синус и косинус всех диаметрально противоположных точек окружности абсолютно равны по модулю. Возьмем, к примеру, противоположные точки π/3 и 4π/3:
cos π/3 = 1/2, sin π/3 = √3/2
cos 4π/3 = -1/2, sin 4π/3 = -√3/2
Различаются значения косинусов и синусов двух противоположных точек только по знаку. Но и здесь есть своя закономерность: синусы и косинусы диаметрально противоположных точек всегда имеют противоположные знаки.
Важно знать :
Значения косинусов и синусов точек числовой окружности последовательно возрастают или убывают в строго определенном порядке: от самого малого значения до самого большого и наоборот (см. раздел «Возрастание и убывание тригонометрических функций» - впрочем, в этом легко убедиться, лишь просто посмотрев на числовую окружность выше).
В порядке убывания получается такое чередование значений:
√3 √2 1 1 √2 √3
1; --; --; -; 0; – -; – --; – --; –1
2 2 2 2 2 2
Возрастают они строго в обратном порядке.
Поняв эту простую закономерность, вы научитесь довольно легко определять значения синуса и косинуса.
В этой статье будут рассмотрены три основных свойства тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса и котангенса.
Первое свойство - знак функции в зависимости от того, какой четверти единичной окружности приналдежит угол α . Второе свойство - периодичность. Согласно этому свойству, тигонометрическая функция не меняет значения при изменении угла на целое число оборотов. Третье свойсто определяет, как меняются значения функций sin, cos, tg, ctg при противоположных углах α и - α .
Часто в математическом тексте или в контексте задачи можно встретить фразу: "угол первой, второй, третьей или четвертой координатной четверти". Что это такое?
Обратимся к единичной окружности. Она разделена на четыре четверти. Отметим на окружности начальную точку A 0 (1 , 0) и, поворачивая ее вокруг точки O на угол α , попадем в точку A 1 (x , y) . В зависимости от того, в какой четверти будет лежать точка A 1 (x , y) , угол α будет называться углом первой, второй, третьей и четвертой четвети соответственно.
Для наглядности приведем иллюстрацию.
Угол α = 30 ° лежит в первой четверти. Угол - 210 ° является углом второй четверти. Угол 585 ° - угол третьей четверти. Угол - 45 ° - это угол четвертой четверти.
При этом углы ± 90 ° , ± 180 ° , ± 270 ° , ± 360 ° не принадлежат ни одной четверти, так как лежат на координатных осях.
Теперь рассмотрим знаки, которые принимают синус, косинус, тангенс и котангенс в зависимости от того, в какой четверти лежит угол.
Чтобы определить знаки синуса по четвертям, вспомним опредение. Синус - это ордината точки A 1 (x , y) . Из рисунка видно, что в первой и второй четвертях она положительна, а в третьей и четверной - отрицательна.
Косинус - это абсцисса точки A 1 (x , y) . В соответсии с этим, определяем знаки косинуса на окружности. Косинус положителен в первой и четвертой четвертях, а отрицателен во второй и третьей четверти.
Для определения знаков тангенса и котангенса по четвертям также вспоминаем определения этих тригонометрических функций. Тангенс - отношение ординаты точки к абсциссе. Значит, по правилу деления чисел с разными знаками, когда ордината и абсцисса имеют одинаковые знаки, знак тангенса на окружности будет положительным, а когда ордината и абсцисса имеют разные знаки - отрицательным. Аналогично определяются знаки котангенса по четвертям.
Важно помнить!
- Синус угла α имеет знак плюс в 1 и 2 четвертях, знак минус - в 3 и 4 четвертях.
- Косинус угла α имеет знак плюс в 1 и 4 четвертях, знак минус - в 2 и 3 четвертях.
- Тангенс угла α имеет знак плюс в 1 и 3 четвертях, знак минус - в 2 и 4 четвертях.
- Котангенс угла α имеет знак плюс в 1 и 3 четвертях, знак минус - в 2 и 4 четвертях.
Свойство периодичности
Свойство периодичности - одно из самых очевидных свойств тригонометрических функций.
Свойство периодичности
При изменении угла на целое число полных оборотов значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса данного угла остаются неизменными.
Действительно, при изменении угла на целое число оборотов мы всегда будем попадать из начальной точки A на единичной окружности в точку A 1 с одними и теми же координатами. Соответственно, не будут меняться и значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса.
Математически данное свойство записывается так:
sin α + 2 π · z = sin α cos α + 2 π · z = cos α t g α + 2 π · z = t g α c t g α + 2 π · z = c t g α
Какое применение на практике находит это свойство? Свойство периодичности, как и формулы приведения, часто используется для вычисления значений синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов больших углов.
Приведем примеры.
sin 13 π 5 = sin 3 π 5 + 2 π = sin 3 π 5
t g (- 689 °) = t g (31 ° + 360 ° · (- 2)) = t g 31 ° t g (- 689 °) = t g (- 329 ° + 360 ° · (- 1)) = t g (- 329 °)
Вновь обратимся к единичной окружности.
Точка A 1 (x , y) - результат поворота начальной точки A 0 (1 , 0) вокруг центра окружности на угол α . Точка A 2 (x , - y) - результат поворота начальной точки на угол - α .
Точки A 1 и A 2 симметричны относительно оси абсцисс. В случае, когда α = 0 ° , ± 180 ° , ± 360 ° точки A 1 и A 2 совпадают. Пусть одна точка имеет координаты (x , y) , а вторая - (x , - y) . Вспомним определения синуса, косинуса, тангенса, котангенса и запишем:
sin α = y , cos α = x , t g α = y x , c t g α = x y sin - α = - y , cos - α = x , t g - α = - y x , c t g - α = x - y
Отсюда следует свойство синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов противоположных углов.
Свойство синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов противоположных углов
sin - α = - sin α cos - α = cos α t g - α = - t g α c t g - α = - c t g α
Согласно этому свойству, справедливы равенства
sin - 48 ° = - sin 48 ° , c t g π 9 = - c t g - π 9 , cos 18 ° = cos - 18 °
Рассмотренное свойство часто используется при решении практических задач в случаях, когда нужно избавиться от отрицательных знаков углов в агрументах тригонометрических функций.
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter